Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
soit :
tan θ e =
2
p
=
mg
kR
.
La position d’équilibre est, comme on pouvait s’y attendre comprise entre 0 et
π
2
. Elle tend
vers 0 lorsque la raideur du ressort est si grande que le poids de M ne peut pas l’étirer et vers
π
2
lorsqu’elle est si faible que le poids de M l’étire facilement.
4. Si l’on écarte la bille de sa position d’équilibre stable et qu’on la lâche sans vitesse initiale,
la bille va osciller dans le puits de potentiel. Si on l’en écarte faiblement, on s’attend à observer des oscillations harmoniques, tout se passant comme si la bille oscillait dans le potentiel
harmonique tangent dessiné en pointillé sur la figure ci-dessus.
5. L’énergie cinétique du système vaut E c =
1
2
mv
2
=
1
2
mR
2 ˙
θ
2 puis l’énergie mécanique :
E m =
1
2
mR
2 ˙
θ
2
− mgR sinθ + 2kR
2 sin
2 θ
2
.
Le mouvement étant conservatif, l’énergie mécanique est conservée et sa dérivée s’annule :
mR
2 ˙
θ ¨
θ − mgR cosθ ˙
θ + 4kR
2 sin
θ
2
cos
θ
2
˙
θ = 0 ⇒ ¨
θ −
g
R
cos θ −
p
2
sin θ
= 0.
6. On écarte M de sa position d’équilibre et on pose θ = θ e + ε puis :
cos θ = cos(θ e + ε) = cos θ e cos ε − sin θ e sin ε = cos θ e − ε sin θ e
sin θ = sin(θ e + ε) = sin θ e cos ε + cosθ e sin ε = sin θ e + ε cos θ e ,
en utilisant les approximations cosε 1 et sinε ε.
On injecte alors ces relations dans l’équation du mouvement et on trouve :
¨
θ +
g
R
sin θ e +
p
2
cos θ e
ε −
g
R
cosθ e −
p
2
sin θ e
= 0.
¨
θ = ¨
ε puisque ε et θ diffèrent d’une constante. Le terme
cos θ e −
p
2
sin θ e
= 0 d’après la
question 3. Comme θ e est compris entre 0 et
π
2
, son sinus et son cosinus sont positifs.
g
R
sin θ e +
p
2
cos θ e
est une grandeur positive homogène à une pulsation au carré. On pose
donc ω 0 =
g
R
sin θ e +
p
2
cosθ e
et l’équation du mouvement devient :
¨
ε + ω
2
0 ε = 0.
Comme prévu, le mouvement au voisinage d’une position d’équilibre stable est celui d’un
oscillateur harmonique. Le calcul effectué permet d’en déterminer la pulsation ω 0 .
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CORRIGÉS
soit :
tan θ e =
2
p
=
mg
kR
.
La position d’équilibre est, comme on pouvait s’y attendre comprise entre 0 et
π
2
. Elle tend
vers 0 lorsque la raideur du ressort est si grande que le poids de M ne peut pas l’étirer et vers
π
2
lorsqu’elle est si faible que le poids de M l’étire facilement.
4. Si l’on écarte la bille de sa position d’équilibre stable et qu’on la lâche sans vitesse initiale,
la bille va osciller dans le puits de potentiel. Si on l’en écarte faiblement, on s’attend à observer des oscillations harmoniques, tout se passant comme si la bille oscillait dans le potentiel
harmonique tangent dessiné en pointillé sur la figure ci-dessus.
5. L’énergie cinétique du système vaut E c =
1
2
mv
2
=
1
2
mR
2 ˙
θ
2 puis l’énergie mécanique :
E m =
1
2
mR
2 ˙
θ
2
− mgR sinθ + 2kR
2 sin
2 θ
2
.
Le mouvement étant conservatif, l’énergie mécanique est conservée et sa dérivée s’annule :
mR
2 ˙
θ ¨
θ − mgR cosθ ˙
θ + 4kR
2 sin
θ
2
cos
θ
2
˙
θ = 0 ⇒ ¨
θ −
g
R
cos θ −
p
2
sin θ
= 0.
6. On écarte M de sa position d’équilibre et on pose θ = θ e + ε puis :
cos θ = cos(θ e + ε) = cos θ e cos ε − sin θ e sin ε = cos θ e − ε sin θ e
sin θ = sin(θ e + ε) = sin θ e cos ε + cosθ e sin ε = sin θ e + ε cos θ e ,
en utilisant les approximations cosε 1 et sinε ε.
On injecte alors ces relations dans l’équation du mouvement et on trouve :
¨
θ +
g
R
sin θ e +
p
2
cos θ e
ε −
g
R
cosθ e −
p
2
sin θ e
= 0.
¨
θ = ¨
ε puisque ε et θ diffèrent d’une constante. Le terme
cos θ e −
p
2
sin θ e
= 0 d’après la
question 3. Comme θ e est compris entre 0 et
π
2
, son sinus et son cosinus sont positifs.
g
R
sin θ e +
p
2
cos θ e
est une grandeur positive homogène à une pulsation au carré. On pose
donc ω 0 =
g
R
sin θ e +
p
2
cosθ e
et l’équation du mouvement devient :
¨
ε + ω
2
0 ε = 0.
Comme prévu, le mouvement au voisinage d’une position d’équilibre stable est celui d’un
oscillateur harmonique. Le calcul effectué permet d’en déterminer la pulsation ω 0 .
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