Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
1. Le triangle OMB est isocèle en O donc les angles des sommets B et M sont égaux. Par
ailleurs, la somme des angles d’un triangle vaut π. En explicitant ces deux conditions, on
obtient α =
π − θ
2
.
2. Pour calculer la distance MB, on détermine son carré :
MB
2
=
− − →
MO +
− →
OB
2 = R
2
+ R
2
+ 2R
2 cos (π − θ ) = 4R
2 sin
2 θ
2
.
On en déduit MB = 2R
sin
θ
2
.
3. Les forces qui s’appliquent sur le système sont conservatives (poids, force de rappel élastique) ou à puissance nulle (réaction du cerceau). On est donc dans un cas de conservation de
l’énergie mécanique.
On détermine l’énergie potentielle dont dérive le poids : E p 1 = mgy M = −mgR sin θ ,
et celle dont dérive la force de rappel élastique : E p 2 =
1
2
kΔ
2
=
1
2
kMB
2
= 2kR
2 sin
2 θ
2
.
L’énergie potentielle totale vaut donc :
E p = −mgR sin θ + 2kR
2 sin
2 θ
2
.
Pour la représenter, on remarque que θ ne peut varier qu’entre 0 et π et on fixe E 0 = mgR
comme échelle d’énergie. On trace l’énergie potentielle sans dimension :
E
∗
p =
E p
E 0
= − sin θ + p sin
2 θ
2
avec p =
2kR 2
mgR
.
|
π
p = 2
E p min
θ e
θ
E ∗
p (θ )
|
π
p = 0.2
E p min
θ e
θ
E ∗
p (θ )
Figure 17.17 – Tracé de l’énergie potentielle pour deux valeurs de p.
L’énergie potentielle présente un minimum en θ e entre 0 et π. La position de coordonnée
θ e est donc une position d’équilibre stable que l’on peut déterminer en recherchant le point
d’annulation de la dérivée :
dE p
dθ
(θ =θ e )
= 0 ⇒ cos θ e − p sin
θ e
2
cos
θ e
2
= 0 ⇒ cos θ e −
p
2
sin θ e = 0,
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