Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
2. Les résultats précédents permettent de tracer la courbe E p (θ ). On choisit l’échelle d’énergie E 0 = mgR 1 et pour fixer les idées, on représente E ∗
p =
E p
E 0
pour R 2 = 2R 1 .
θ
E ∗
p
0
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
3. Les positions angulaires d’équilibre apparaissent sur la figure ci-dessus : ce sont les minima (positions stables) en θ = 0 et 2π et le maximum en θ = π.
On les retrouve par le calcul :
dE p
dθ
= mgR i sin θ , l’indice i étant égal à 1 ou 2 suivant la zone.
On trouve donc des extrémas pour sin θ = 0. Dans l’intervalle
−
π
2
,
5π
2
, les solutions sont
θ ∈ {0, π, 2π}.
La dérivée seconde de E p est égale à mgR i cos θ , positive pour θ = 0 et 2π correspondant aux
positions stables et négative pour θ = π correspondant à la position instable.
4. Sortie en S :
a. Pour atteindre le puits de potentiel en F depuis A, l’anneau doit passer la barrière de
potentiel en B. Un mouvement est possible si l’énergie mécanique vérifie E m ≥ E p , il faut
donc donner au point M lorsqu’il est en A une énergie mécanique au moins égale à E p (B) = 0
soit :
E m (A) = E c (A) + E p (A) =
1
2
mV
2
0 − mgR 1 ,
d’où :
E m (A) ≥ 0 ⇒ V 0 ≥
2gR 1 .
b. On écrit l’égalité de l’énergie mécanique en A et en F :
1
2
mV
2
0 − mgR 1 =
1
2
mV
2
F − 2mgR 2 ⇒ V F
V 2
0 − 2g(R 1 − 2R 2 ).
c. Pour sortir de l’anneau en S, il faut que l’anneau ait une énergie mécanique supérieure
à E p (S), ce qui est le cas s’il franchit la barrière de potentiel en B. Donc la condition est la
même que pour atteindre F.
17.4 Mouvement d’une bille reliée à un ressort
On étudie la bille dans le référentiel terrestre galiléen. Elle est soumise à son poids, à la force
de rappel élastique
− →
T du ressort et à la réaction
− →
N du cerceau qui est normale du fait de
l’absence de frottement.
641
CORRIGÉS
2. Les résultats précédents permettent de tracer la courbe E p (θ ). On choisit l’échelle d’énergie E 0 = mgR 1 et pour fixer les idées, on représente E ∗
p =
E p
E 0
pour R 2 = 2R 1 .
θ
E ∗
p
0
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
3. Les positions angulaires d’équilibre apparaissent sur la figure ci-dessus : ce sont les minima (positions stables) en θ = 0 et 2π et le maximum en θ = π.
On les retrouve par le calcul :
dE p
dθ
= mgR i sin θ , l’indice i étant égal à 1 ou 2 suivant la zone.
On trouve donc des extrémas pour sin θ = 0. Dans l’intervalle
−
π
2
,
5π
2
, les solutions sont
θ ∈ {0, π, 2π}.
La dérivée seconde de E p est égale à mgR i cos θ , positive pour θ = 0 et 2π correspondant aux
positions stables et négative pour θ = π correspondant à la position instable.
4. Sortie en S :
a. Pour atteindre le puits de potentiel en F depuis A, l’anneau doit passer la barrière de
potentiel en B. Un mouvement est possible si l’énergie mécanique vérifie E m ≥ E p , il faut
donc donner au point M lorsqu’il est en A une énergie mécanique au moins égale à E p (B) = 0
soit :
E m (A) = E c (A) + E p (A) =
1
2
mV
2
0 − mgR 1 ,
d’où :
E m (A) ≥ 0 ⇒ V 0 ≥
2gR 1 .
b. On écrit l’égalité de l’énergie mécanique en A et en F :
1
2
mV
2
0 − mgR 1 =
1
2
mV
2
F − 2mgR 2 ⇒ V F
V 2
0 − 2g(R 1 − 2R 2 ).
c. Pour sortir de l’anneau en S, il faut que l’anneau ait une énergie mécanique supérieure
à E p (S), ce qui est le cas s’il franchit la barrière de potentiel en B. Donc la condition est la
même que pour atteindre F.
17.4 Mouvement d’une bille reliée à un ressort
On étudie la bille dans le référentiel terrestre galiléen. Elle est soumise à son poids, à la force
de rappel élastique
− →
T du ressort et à la réaction
− →
N du cerceau qui est normale du fait de
l’absence de frottement.
641