Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
¨
θ +
h
m
˙
θ +
g
L
sin θ = 0.
2. Lorsque θ est faible, on obtient ¨
θ +
h
m
˙
θ +
g
L
θ = 0. Son équation caractéristique s’écrit
r 2 +
h
m
r +
g
L
= 0 et son discriminant Δ =
h
m
2
− 4
g
L
. On a un régime pseudo-périodique si
Δ < 0 soit h < 2m
g
L
.
3. La solution s’écrit θ =
⎛
⎝ A cos
g
L
−
h
2m
2
t + B sin
g
L
−
h
2m
2
t
⎞
⎠ exp
−
h
2m
t
.
On détermine les constantes A et B avec les conditions initiales :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
θ (0) = A = θ 0
˙
θ (0) =
B
2
g
L
−
h
2m
2
−
h
2m
A = 0.
Finalement on a :
θ =
⎛
⎝ cos
g
L
−
h
2m
2
t + h
L
4gm 2 − Lh 2 sin
g
L
−
h
2m
2
t
⎞
⎠ θ 0 exp
−
h
2m
t
.
4. L’évolution de θ avec t est de la forme ci-dessous :
t
θ
T
θ 0
17.3 Mouvement d’un anneau sur une piste circulaire
Le référentiel du laboratoire est supposé galiléen.
1. On prend un axe Oz vertical ascendant d’origine C 2 . L’énergie potentielle est alors donnée
par l’expression E p = mgz + cte. L’énoncé propose de prendre l’énergie potentielle nulle en
B soit avec l’origine choisie, pour z = R 2 , d’où l’expression de l’énergie E p = mg(z − R 2 ).
On cherche maintenant à exprimer E p en fonction de θ . Pour la partie (1), on peut écrire
z = R 2 − R 1 − R 1 cos θ d’où E p1 = −mgR 1 (1 + cosθ ).
Pour la partie (2), on trouve z = −R 2 cos θ , soit E p2 = −mgR 2 (1 + cosθ ).
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