Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
L’énergie potentielle présente donc un minimum en θ = 0 (modulo 2π) qui correspond à une
position d’équilibre stable. En cette position, le point A est à la verticale de O en dessous.
L’énergie potentielle présente donc un maximum en θ = π (modulo 2π) qui correspond à une
position d’équilibre instable. En cette position, le point A est à la verticale de O au dessus.
Cette position d’équilibre n’a donc pas de sens physique car un fil sans rigidité fournit une
traction et ne peut en aucun cas soutenir la masse A en s’opposant au poids dans cette position.
4. En utilisant l’approximation sin θ θ , on déduit ¨
θ +
g
L
θ = 0, ce qui correspond à l’équation du mouvement d’un oscillateur harmonique de pulsation ω 0 =
g
L
et de période T 0 =
2π
L
g
.
Du point de vue énergétique, cela revient à remplacer l’énergie potentielle E p par le potentiel
harmonique tangent dessiné en pointillé sur la courbe d’énergie potentielle.
5. La solution s’écrit θ = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t). La détermination des constantes A et B
s’obtient à l’aide des conditions initiales soit θ (0) = A = θ 0 et ˙
θ (0) = Bω 0 = 0. Finalement :
θ = θ 0 cos(ω 0 t).
6. La vitesse s’écrit v = L ˙
θ . Elle est donc maximale si ˙
θ est maximal donc lorsque ˙
θ = θ 0 ω 0 .
Elle vaut alors v max = Lθ 0 ω 0 = θ 0
√
Lg.
7. L’évolution de θ avec t est de la forme ci-dessous :
t
T
θ 0
θ
17.2 Oscillations d’un pendule simple - partie 2
1. On doit ajouter la force de frottement
− →
F f = −h − → v au bilan des forces de l’exercice précédent. Cette force n’est pas conservative et sa puissance vaut P
− →
F f
=
− →
F f · − → v = −hv
2 .
Comme dans l’exercice précédent, la puissance de la tension du fil est nulle. La puissance
du poids vaut P
− →
P
= −
dE p
dt
car dE p = −δW
− →
P
= −P
− →
P
dt. On applique alors le
théorème de la puissance cinétique :
dE c
dt
= −
dE p
dt
− hv
2
⇔
dE m
dt
= −hv
2
= −hL
2 ˙
θ
2
.
On a vu dans l’exercice précédent que
dE m
dt
= mL
2 ¨
θ ˙
θ + mgL sin θ ˙
θ , on en déduit l’équation
différentielle du mouvement en simplifiant par ˙
θ qui n’est pas nul à tout instant :
639
CORRIGÉS
L’énergie potentielle présente donc un minimum en θ = 0 (modulo 2π) qui correspond à une
position d’équilibre stable. En cette position, le point A est à la verticale de O en dessous.
L’énergie potentielle présente donc un maximum en θ = π (modulo 2π) qui correspond à une
position d’équilibre instable. En cette position, le point A est à la verticale de O au dessus.
Cette position d’équilibre n’a donc pas de sens physique car un fil sans rigidité fournit une
traction et ne peut en aucun cas soutenir la masse A en s’opposant au poids dans cette position.
4. En utilisant l’approximation sin θ θ , on déduit ¨
θ +
g
L
θ = 0, ce qui correspond à l’équation du mouvement d’un oscillateur harmonique de pulsation ω 0 =
g
L
et de période T 0 =
2π
L
g
.
Du point de vue énergétique, cela revient à remplacer l’énergie potentielle E p par le potentiel
harmonique tangent dessiné en pointillé sur la courbe d’énergie potentielle.
5. La solution s’écrit θ = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t). La détermination des constantes A et B
s’obtient à l’aide des conditions initiales soit θ (0) = A = θ 0 et ˙
θ (0) = Bω 0 = 0. Finalement :
θ = θ 0 cos(ω 0 t).
6. La vitesse s’écrit v = L ˙
θ . Elle est donc maximale si ˙
θ est maximal donc lorsque ˙
θ = θ 0 ω 0 .
Elle vaut alors v max = Lθ 0 ω 0 = θ 0
√
Lg.
7. L’évolution de θ avec t est de la forme ci-dessous :
t
T
θ 0
θ
17.2 Oscillations d’un pendule simple - partie 2
1. On doit ajouter la force de frottement
− →
F f = −h − → v au bilan des forces de l’exercice précédent. Cette force n’est pas conservative et sa puissance vaut P
− →
F f
=
− →
F f · − → v = −hv
2 .
Comme dans l’exercice précédent, la puissance de la tension du fil est nulle. La puissance
du poids vaut P
− →
P
= −
dE p
dt
car dE p = −δW
− →
P
= −P
− →
P
dt. On applique alors le
théorème de la puissance cinétique :
dE c
dt
= −
dE p
dt
− hv
2
⇔
dE m
dt
= −hv
2
= −hL
2 ˙
θ
2
.
On a vu dans l’exercice précédent que
dE m
dt
= mL
2 ¨
θ ˙
θ + mgL sin θ ˙
θ , on en déduit l’équation
différentielle du mouvement en simplifiant par ˙
θ qui n’est pas nul à tout instant :
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