Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
CORRIGÉS
17.1 Oscillations d’un pendule simple - partie 1
1. On étudie le mouvement du point A de masse m dans le référentiel terrestre galiléen.
Le mouvement du point A est situé dans un plan vertical (Oxy)
et la distance de A à O est fixée à L donc le point A se déplace
sur un cercle de rayon L et de centre O. On peut alors appliquer
les formules de cinématique du point en coordonnées polaires
de centre O :
− →
OA = L − → u r ; − → v = L ˙
θ − →
u θ ; − → a = −
v 2
L
− → u r + L ¨
θ − →
u θ .
Ce point est soumis à son poids et à la tension du fil
− →
T . Le poids
est une force conservative, la tension du fil est perpendiculaire
au mouvement donc sa puissance est nulle. On est donc dans un
cas de conservation de l’énergie mécanique.
A •
•
O
x
L
θ
− → u r
− →
u θ
− →
P
− →
T
A
− → g
On détermine l’énergie potentielle de pesanteur E p = mg altitude = −mgL cosθ . L’énergie
cinétique vaut E c =
1
2
mv
2
=
1
2
mL
2 ˙
θ
2 . On en déduit l’énergie mécanique :
E m =
1
2
mL
2 ˙
θ
2
− mgL cosθ .
L’énergie mécanique étant conservée, sa dérivée est nulle donc
dE m
dt
= mL
2 ¨
θ ˙
θ + mgL sin θ ˙
θ = 0.
Comme, lors d’un mouvement, ˙
θ n’est pas nulle à tout instant, on en déduit l’équation du
mouvement :
¨
θ +
g
L
sin θ ⇔ ¨
θ + ω
2
0 sin θ = 0 avecω
2
0 =
g
L
.
2. Le principe fondamental de la dynamique projeté sur − →
u θ en coordonnées polaires donne
mL ¨
θ = −mg sin θ . On retrouve donc la même équation.
3. Le tracé de l’énergie potentielle donne :
π 2π 3π
−π
−2π
−3π
θ
E p /mgL
0, 5
1
1, 5
−0, 5
−1
Figure 17.16 – Energie potentielle d’un pendule pesant. En pointillé, l’énergie
mécanique minimale nécessaire pour obtenir un mouvement de révolution.
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