CHAPITRE 2 – PROPAGATION D’UN SIGNAL
2.3 Onde progressive sinusoïdale
Dans ce paragraphe on considère une onde progressive se propageant dans le sens positif de
l’axe (Ox), sans déformation ni atténuation. Cette onde aura une forme particulière : elle sera
sinusoïdale.
a) Définition
On parle d’onde sinusoïdale, ou encore d’onde harmonique, lorsque le signal mesuré en
tout point est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation ω, indépendante du point. Une
telle onde a la forme mathématique suivante :
s(x,t) = A(x) cos (ωt + ϕ(x)) .
A(x) est l’amplitude de l’onde au point d’abscisse x et ϕ(x) la phase initiale de l’onde en ce
même point.
On note : A 0 = A(0) et ϕ(0) = ϕ 0 , l’amplitude et la phase initiale à l’origine O de l’axe Ox.
b) Double périodicité spatio-temporelle
L’onde se propageant sans atténuation ni déformation dans le sens positif de (Ox), la vibration
observée à toute abscisse x > 0 reproduit la vibration observée en x = 0 avec le retard de
propagation τ =
x
c
. Ceci s’exprime ainsi :
s(x,t) = s(0,t − τ) = A 0 cos
ω
t −
x
c
+ ϕ 0
.
On retiendra ce résultat sous la forme suivante :
Une onde progressive sinusoïdale de pulsation ω se propageant dans le sens positif de
l’axe (Ox) avec la vitesse c a pour expression :
s(x,t) = A 0 cos (ωt − kx + ϕ 0 ) avec k =
ω
c
.
(2.5)
k est appelé vecteur d’onde. A 0 est l’amplitude de l’onde et ϕ 0 sa phase initiale à l’origine.
Ainsi l’onde progressive sinusoïdale est une fonction sinusoïdale à la fois :
• du temps (pour x fixé) avec une pulsation temporelle ω,
• de la variable spatiale x (pour t fixé), avec une pulsation spatiale k.
On parle de la double périodicité spatio-temporelle de l’onde.
De même que la période temporelle est : T =
2π
ω
, la période spatiale est la longueur d’onde :
λ =
2π
k
=
2πc
ω
= cT.
La fréquence spatiale est le nombre d’onde :
σ =
1
λ
.
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