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CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
Pour modéliser l’interaction entre deux atomes d’un gaz noble, on utilise le potentiel de
Lennard-Jones (1929) dont l’expression est :
E p = 4ε
σ
r
12 −
σ
r
6
,
où r représente la distance entre les atomes. Les valeurs de ε et de σ sont regroupées dans le
tableau 17.1. On a l’habitude de donner la valeur de σ en ˚
A = 10 −10 m et celle de ε sous la
forme
ε
k B
qui s’exprime en K avec k B = 1,38.10 −23 J·K −1 , la constante de Boltzman. Dans
ce potentiel, le terme en
1
r 6 correspond aux interactions de Van der Walls ; le terme en
1
r 12
est un potentiel empirique qui traduit le fait que les atomes ne peuvent pas s’interpénétrer. On
atome
He
Ne
Ar
Kr
Xe
Masse molaire (g·mol
−1
)
4,0
20
40
83,8 131,3
masse volumique (kg·m −3 ) 125 1207 1393 2413 3057
température d’ébulition (K) 4,2
27,1
87,3 119,9 165,0
σ ( ˚
A)
2,63 2,77
3,40
3,60
4,06
ε/k B (K)
5,46 36,8 116,8 164,6 218,2
Tableau 17.1
veut exploiter ce potentiel pour comprendre l’évolution de quelques propriétés physiques des
gaz nobles. Pour cela, on considère le modèle suivant :
– l’interaction entre plus proches voisins dérive de l’énergie potentielle de Lennard-Jones
tracée figure 17.15 ;
– un atome M de masse m est en interaction avec ses plus proches voisins. Pour simplifier le
traitement mathématique, on ne considère que le plus proche voisin distant de r ;
– en phase liquide, les atomes sont mobiles mais ne peuvent pas sortir du puits de potentiel
créé par son plus proche voisin ;
– en phase gazeuse, les atomes sont mobiles et libres de s’éloigner indéfiniment ;
– l’énergie cinétique des atomes est reliée à la température par la relation E c =
3
2
k B T .
On rappelle la valeur du nombre d’Avogadro : N a = 6,02.10 23 mol −1 .
1. Etude de la température d’ébullition.
a. Exploiter la relation E c =
3
2
k B T pour estimer la température permettant à l’atome étudié
de sortir du puits de potentiel.
b. Justifier que cette température est une bonne estimation de la température d’ébullition.
La calculer pour chacun des corps considérés. Conclure.
2. Etude de la courbe d’énergie potentielle.
a. La courbe d’énergie potentielle de la figure 17.15 admet un minimum. Déterminer sa
position r min et sa valeur E min .
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CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
Pour modéliser l’interaction entre deux atomes d’un gaz noble, on utilise le potentiel de
Lennard-Jones (1929) dont l’expression est :
E p = 4ε
σ
r
12 −
σ
r
6
,
où r représente la distance entre les atomes. Les valeurs de ε et de σ sont regroupées dans le
tableau 17.1. On a l’habitude de donner la valeur de σ en ˚
A = 10 −10 m et celle de ε sous la
forme
ε
k B
qui s’exprime en K avec k B = 1,38.10 −23 J·K −1 , la constante de Boltzman. Dans
ce potentiel, le terme en
1
r 6 correspond aux interactions de Van der Walls ; le terme en
1
r 12
est un potentiel empirique qui traduit le fait que les atomes ne peuvent pas s’interpénétrer. On
atome
He
Ne
Ar
Kr
Xe
Masse molaire (g·mol
−1
)
4,0
20
40
83,8 131,3
masse volumique (kg·m −3 ) 125 1207 1393 2413 3057
température d’ébulition (K) 4,2
27,1
87,3 119,9 165,0
σ ( ˚
A)
2,63 2,77
3,40
3,60
4,06
ε/k B (K)
5,46 36,8 116,8 164,6 218,2
Tableau 17.1
veut exploiter ce potentiel pour comprendre l’évolution de quelques propriétés physiques des
gaz nobles. Pour cela, on considère le modèle suivant :
– l’interaction entre plus proches voisins dérive de l’énergie potentielle de Lennard-Jones
tracée figure 17.15 ;
– un atome M de masse m est en interaction avec ses plus proches voisins. Pour simplifier le
traitement mathématique, on ne considère que le plus proche voisin distant de r ;
– en phase liquide, les atomes sont mobiles mais ne peuvent pas sortir du puits de potentiel
créé par son plus proche voisin ;
– en phase gazeuse, les atomes sont mobiles et libres de s’éloigner indéfiniment ;
– l’énergie cinétique des atomes est reliée à la température par la relation E c =
3
2
k B T .
On rappelle la valeur du nombre d’Avogadro : N a = 6,02.10 23 mol −1 .
1. Etude de la température d’ébullition.
a. Exploiter la relation E c =
3
2
k B T pour estimer la température permettant à l’atome étudié
de sortir du puits de potentiel.
b. Justifier que cette température est une bonne estimation de la température d’ébullition.
La calculer pour chacun des corps considérés. Conclure.
2. Etude de la courbe d’énergie potentielle.
a. La courbe d’énergie potentielle de la figure 17.15 admet un minimum. Déterminer sa
position r min et sa valeur E min .
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