Exercices Exercices
CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
b. Déterminer la vitesse et l’élongation au début et à la fin du mouvement.
c. Déterminer la vitesse maximale atteinte ainsi que l’élongation maximale.
d. On donne les différentes dates correspondant aux croisements de la trajectoire de phase
avec l’axe des abscisses :
t (s)
0,31
0,65
0,97
1,3
1,62
En déduire le pseudo-période T et la pseudo-pulsation Ω.
e. On définit le décrément logarithmique par δ =
1
n
ln
x(t) − x B
x(t + nT ) − x B
où x(t) et x(t +
nT ) sont les élongations aux instants t et t + nT (n entier naturel) et x B l’élongation finale de
M. Exprimer δ en fonction de T et τ.
En choisissant une valeur de n la plus grande possible pour les données dont on dispose,
déterminer δ puis τ.
f. Déduire des résultats précédents le facteur de qualité Q et la pulsation propre ω 0 .
g. Déterminer la raideur du ressort k, le coefficient de frottement λ et la force F c sachant
que 0 = 1 cm.
17.6 Modélisation d’un amortisseur ()
On considère l’amortisseur d’un véhicule. Chaque
roue supporte un quart de la masse de la voiture assimilé à un point M de masse m = 500 kg, et est reliée à un amortisseur dont le ressort a une constante
de raideur k = 2,5.10 4 N·m −1 . Le point M subit
aussi un frottement visqueux
− →
f v = −λ − → v où − → v est
la vitesse verticale de M et λ = 5,0.10 3 kg·s −1 .
z
− → u x
− → u z
λ
O
z 0 = R
k
M
1. Le véhicule franchit à vitesse constante un défaut de la chaussée de hauteur h = 5,0 cm.
Son inertie est suffisante pour qu’il ne se soulève pas immédiatement mais acquiert une vitesse verticale v 0 = 0,50 m·s −1 . On pose α =
λ
2m
. On note Z i la cote du point M avant le
passage du défaut.
a. On note Z(t) la cote de M. établir l’équation différentielle pour Z après le passage de
l’obstacle. Déterminer Z(t) en fonction des données. On remarquera que α = Ω ou Ω est la
pseudo-pulsation.
b. Les passagers sont sensibles à l’accélération verticale de la voiture, calculer sa valeur
maximale. On utilisera le fait que α = Ω.
2. Il faut en fait éviter des oscillations susceptibles de provoquer chez les passagers la mal
des transports, en se plaçant dans les conditions critiques. Pour quelle masse par roue est-ce
réalisé, k et λ étant inchangés ?
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CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
b. Déterminer la vitesse et l’élongation au début et à la fin du mouvement.
c. Déterminer la vitesse maximale atteinte ainsi que l’élongation maximale.
d. On donne les différentes dates correspondant aux croisements de la trajectoire de phase
avec l’axe des abscisses :
t (s)
0,31
0,65
0,97
1,3
1,62
En déduire le pseudo-période T et la pseudo-pulsation Ω.
e. On définit le décrément logarithmique par δ =
1
n
ln
x(t) − x B
x(t + nT ) − x B
où x(t) et x(t +
nT ) sont les élongations aux instants t et t + nT (n entier naturel) et x B l’élongation finale de
M. Exprimer δ en fonction de T et τ.
En choisissant une valeur de n la plus grande possible pour les données dont on dispose,
déterminer δ puis τ.
f. Déduire des résultats précédents le facteur de qualité Q et la pulsation propre ω 0 .
g. Déterminer la raideur du ressort k, le coefficient de frottement λ et la force F c sachant
que 0 = 1 cm.
17.6 Modélisation d’un amortisseur ()
On considère l’amortisseur d’un véhicule. Chaque
roue supporte un quart de la masse de la voiture assimilé à un point M de masse m = 500 kg, et est reliée à un amortisseur dont le ressort a une constante
de raideur k = 2,5.10 4 N·m −1 . Le point M subit
aussi un frottement visqueux
− →
f v = −λ − → v où − → v est
la vitesse verticale de M et λ = 5,0.10 3 kg·s −1 .
z
− → u x
− → u z
λ
O
z 0 = R
k
M
1. Le véhicule franchit à vitesse constante un défaut de la chaussée de hauteur h = 5,0 cm.
Son inertie est suffisante pour qu’il ne se soulève pas immédiatement mais acquiert une vitesse verticale v 0 = 0,50 m·s −1 . On pose α =
λ
2m
. On note Z i la cote du point M avant le
passage du défaut.
a. On note Z(t) la cote de M. établir l’équation différentielle pour Z après le passage de
l’obstacle. Déterminer Z(t) en fonction des données. On remarquera que α = Ω ou Ω est la
pseudo-pulsation.
b. Les passagers sont sensibles à l’accélération verticale de la voiture, calculer sa valeur
maximale. On utilisera le fait que α = Ω.
2. Il faut en fait éviter des oscillations susceptibles de provoquer chez les passagers la mal
des transports, en se plaçant dans les conditions critiques. Pour quelle masse par roue est-ce
réalisé, k et λ étant inchangés ?
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