Exercices Exercices
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17.5 Etude d’un oscillateur à l’aide de son portrait de phase ()
On fait l’étude d’un oscillateur M de masse m = 0,2 kg astreint à se déplacer suivant l’axe Ox
de vecteur unitaire − → u x . Il est soumis uniquement aux forces suivantes :
• La force de rappel d’un ressort de caractéristiques (k,, 0 ).
• Une force de frottement visqueux :
− →
f v = −λ ˙
x − → u x .
• Une force constante
− →
F c = F c
− → u x
1. Equation du mouvement.
a. Etablir l’équation différentielle du mouvement de M et la mettre sous la forme :
¨
x +
ω 0
Q
˙
x + ω
2
0 x = ω
2
0 X 0
où x est l’allongement du ressort (par rapport à 0 ). Les grandeurs ω 0 , Q et X 0 sont à exprimer
en fonction des données.
b. Dans le cas d’une solution pseudo-périodique, exprimer x(t) : on définira le temps caractéristique de décroissance des oscillations τ et la pseudo-pulsation Ω que l’on exprimera
en fonction de ω 0 et Q.
2. Le portrait de phase (v(t) = ˙
x(t), x(t)) de l’oscillateur étudié est donné sur la figure (17.12).
On souhaite pouvoir en tirer les valeurs des différents paramètres de l’oscillateur.
v(t) en cm·s −1
x(t) en cm
A
B
0
5
10
15
20
−5
−10
−15
−20
1
2
3
4
Figure 17.12
a. Quel est le type de mouvement ?
633
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17.5 Etude d’un oscillateur à l’aide de son portrait de phase ()
On fait l’étude d’un oscillateur M de masse m = 0,2 kg astreint à se déplacer suivant l’axe Ox
de vecteur unitaire − → u x . Il est soumis uniquement aux forces suivantes :
• La force de rappel d’un ressort de caractéristiques (k,, 0 ).
• Une force de frottement visqueux :
− →
f v = −λ ˙
x − → u x .
• Une force constante
− →
F c = F c
− → u x
1. Equation du mouvement.
a. Etablir l’équation différentielle du mouvement de M et la mettre sous la forme :
¨
x +
ω 0
Q
˙
x + ω
2
0 x = ω
2
0 X 0
où x est l’allongement du ressort (par rapport à 0 ). Les grandeurs ω 0 , Q et X 0 sont à exprimer
en fonction des données.
b. Dans le cas d’une solution pseudo-périodique, exprimer x(t) : on définira le temps caractéristique de décroissance des oscillations τ et la pseudo-pulsation Ω que l’on exprimera
en fonction de ω 0 et Q.
2. Le portrait de phase (v(t) = ˙
x(t), x(t)) de l’oscillateur étudié est donné sur la figure (17.12).
On souhaite pouvoir en tirer les valeurs des différents paramètres de l’oscillateur.
v(t) en cm·s −1
x(t) en cm
A
B
0
5
10
15
20
−5
−10
−15
−20
1
2
3
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Figure 17.12
a. Quel est le type de mouvement ?
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