Exercices
CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
On repère la position de M par l’angle θ . Pour la
partie (1), θ ∈
−
π
2
, π
et pour la partie (2), θ ∈
π,
5π
2
. Il n’y a pas de frottement et on note g
l’accélération de la pesanteur.
1. Exprimer l’énergie potentielle de pesanteur E p
du point M en supposant E p = 0 au point B (θ = π).
On distinguera les cas (1) et (2).
2. Tracer l’allure de E p (θ ).
3. Déterminer les positions angulaires d’équilibre
et leur stabilité.
A
B
C 1
C 2
E
F
S
θ
θ
R 1
R 2
− → g
M
M
+
Figure 17.11
4. L’anneau est initialement en A (θ = −π/2), il est lancé à une vitesse V 0 dans le sens
trigonométrique.
a. A quelle condition sur la vitesse V 0 l’anneau peut-il atteindre le point F en θ = 2π ?
b. Cette condition étant remplie, donner l’expression de sa vitesse V F en fonction des
données du problèmes.
c. A quelle condition sur V 0 , l’anneau sort-il de la piste en S en θ = 5π/2.
17.4 Mouvement d’une bille reliée à un ressort sur un cercle ()
On considère le mouvement d’une bille M de masse m pouvant coulisser sans frottement sur
un cerceau de centre O et de rayon R disposé dans un plan vertical. On note AB le diamètre
horizontal du cerceau, Ox l’axe horizontal, Oy l’axe vertical descendant et θ l’angle entre
Ox et OM. La bille est attachée à un ressort de longueur à vide nulle et de raideur k dont la
seconde extrémité est fixée en B. Elle ne peut se déplacer que sur le demi-cercle inférieur.
1. Déterminer l’angle α entre MO et MB en fonction de θ .
2. Etablir l’expression de la longueur de ressort en
fonction de R et θ .
3. En déduire l’énergie potentielle totale du système. Représenter la courbe d’énergie potentielle
et en déduire les positions d’équilibres éventuelles
et leur stabilité.
M
O
A
B
θ
α
x
y
− → u r
− →
u θ
4. Si l’on écarte faiblement la bille de sa position d’équilibre stable θ e et qu’on la lâche sans
vitesse initiale, à quel type de mouvement peut-on s’attendre ?
5. Etablir l’équation différentielle du mouvement.
6. On note ε l’écart θ − θ e . Initialement, on écarte la bille d’un angle ε 0
π
2
à partir de sa
position d’équilibre et on la lâche sans vitesse initiale. Linéariser l’équation du mouvement
et conclure.
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CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
On repère la position de M par l’angle θ . Pour la
partie (1), θ ∈
−
π
2
, π
et pour la partie (2), θ ∈
π,
5π
2
. Il n’y a pas de frottement et on note g
l’accélération de la pesanteur.
1. Exprimer l’énergie potentielle de pesanteur E p
du point M en supposant E p = 0 au point B (θ = π).
On distinguera les cas (1) et (2).
2. Tracer l’allure de E p (θ ).
3. Déterminer les positions angulaires d’équilibre
et leur stabilité.
A
B
C 1
C 2
E
F
S
θ
θ
R 1
R 2
− → g
M
M
+
Figure 17.11
4. L’anneau est initialement en A (θ = −π/2), il est lancé à une vitesse V 0 dans le sens
trigonométrique.
a. A quelle condition sur la vitesse V 0 l’anneau peut-il atteindre le point F en θ = 2π ?
b. Cette condition étant remplie, donner l’expression de sa vitesse V F en fonction des
données du problèmes.
c. A quelle condition sur V 0 , l’anneau sort-il de la piste en S en θ = 5π/2.
17.4 Mouvement d’une bille reliée à un ressort sur un cercle ()
On considère le mouvement d’une bille M de masse m pouvant coulisser sans frottement sur
un cerceau de centre O et de rayon R disposé dans un plan vertical. On note AB le diamètre
horizontal du cerceau, Ox l’axe horizontal, Oy l’axe vertical descendant et θ l’angle entre
Ox et OM. La bille est attachée à un ressort de longueur à vide nulle et de raideur k dont la
seconde extrémité est fixée en B. Elle ne peut se déplacer que sur le demi-cercle inférieur.
1. Déterminer l’angle α entre MO et MB en fonction de θ .
2. Etablir l’expression de la longueur de ressort en
fonction de R et θ .
3. En déduire l’énergie potentielle totale du système. Représenter la courbe d’énergie potentielle
et en déduire les positions d’équilibres éventuelles
et leur stabilité.
M
O
A
B
θ
α
x
y
− → u r
− →
u θ
4. Si l’on écarte faiblement la bille de sa position d’équilibre stable θ e et qu’on la lâche sans
vitesse initiale, à quel type de mouvement peut-on s’attendre ?
5. Etablir l’équation différentielle du mouvement.
6. On note ε l’écart θ − θ e . Initialement, on écarte la bille d’un angle ε 0
π
2
à partir de sa
position d’équilibre et on la lâche sans vitesse initiale. Linéariser l’équation du mouvement
et conclure.
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