Exercices
S’ENTRAÎNER
S’ENTRAÎNER
17.1 Oscillations d’un pendule simple - partie 1 ()
Un objet ponctuel A de masse m est suspendu à l’extrémité d’un fil de masse négligeable
et de longueur L dont l’autre extrémité O est fixe. On ne considère pas les mouvements en
dehors d’un plan vertical Oxy perpendiculaire à un axe Oz horizontal. On repère A par l’angle
θ entre le fil et la verticale. On suppose que le référentiel terrestre est galiléen. On néglige
tous les frottements. On désigne par − → g = g − → u x l’accélération du champ de pesanteur.
1. Déterminer l’équation différentielle du mouvement de A en appliquant le théorème de
l’énergie cinétique.
2. Retrouver le résultat par le principe fondamental de la dynamique.
3. Tracer la courbe d’énergie potentielle et déterminer les positions d’équilibre du système et
leur stabilité.
4. Initialement on abandonne A sans vitesse initiale alors que le fil est écarté d’un angle
θ 0 . On se place dans le cas où θ 0 est petit. Montrer que le système constitue un oscillateur
harmonique dont on exprimera la pulsation ω 0 et la période T 0 en fonction de g et L.
5. Compte tenu des conditions initiales, déterminer l’évolution de l’angle θ en fonction du
temps t.
6. Quelle est la valeur maximale v max de la vitesse de l’objet A au cours de son mouvement ?
On l’exprimera en fonction de θ 0 , L et g.
7. Tracer la courbe donnant θ en fonction du temps.
17.2 Oscillations d’un pendule simple - partie 2 ()
On reprend le problème précédent mais on tient compte d’une force de de frottement fluide
proportionnelle à la vitesse − → v . On note h le coefficient de proportionnalité.
1. Déterminer l’équation différentielle du mouvement de A en appliquant le théorème de
l’énergie cinétique.
2. Les frottements sont suffisamment faibles pour que le régime soit pseudo-périodique. Donner la condition sur h pour qu’il en soit ainsi.
3. On lâche le pendule sans vitesse initiale d’une position faisant un angle θ 0 faible. Linéariser l’équation différentielle du mouvement puis déterminer l’expression de θ en fonction du
temps t.
4. Donner l’allure de la courbe représentant θ en fonction du temps.
17.3 Mouvement d’un anneau sur une piste circulaire d’après CCP 2004 ()
On considère le dispositif de la figure (17.11) où un objet assimilable à un point matériel M
de masse m se déplace solidairement à une piste formée de deux parties circulaires de rayon
R 1 et R 2 , de centre C 1 et C 2 dans un plan vertical.
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17.1 Oscillations d’un pendule simple - partie 1 ()
Un objet ponctuel A de masse m est suspendu à l’extrémité d’un fil de masse négligeable
et de longueur L dont l’autre extrémité O est fixe. On ne considère pas les mouvements en
dehors d’un plan vertical Oxy perpendiculaire à un axe Oz horizontal. On repère A par l’angle
θ entre le fil et la verticale. On suppose que le référentiel terrestre est galiléen. On néglige
tous les frottements. On désigne par − → g = g − → u x l’accélération du champ de pesanteur.
1. Déterminer l’équation différentielle du mouvement de A en appliquant le théorème de
l’énergie cinétique.
2. Retrouver le résultat par le principe fondamental de la dynamique.
3. Tracer la courbe d’énergie potentielle et déterminer les positions d’équilibre du système et
leur stabilité.
4. Initialement on abandonne A sans vitesse initiale alors que le fil est écarté d’un angle
θ 0 . On se place dans le cas où θ 0 est petit. Montrer que le système constitue un oscillateur
harmonique dont on exprimera la pulsation ω 0 et la période T 0 en fonction de g et L.
5. Compte tenu des conditions initiales, déterminer l’évolution de l’angle θ en fonction du
temps t.
6. Quelle est la valeur maximale v max de la vitesse de l’objet A au cours de son mouvement ?
On l’exprimera en fonction de θ 0 , L et g.
7. Tracer la courbe donnant θ en fonction du temps.
17.2 Oscillations d’un pendule simple - partie 2 ()
On reprend le problème précédent mais on tient compte d’une force de de frottement fluide
proportionnelle à la vitesse − → v . On note h le coefficient de proportionnalité.
1. Déterminer l’équation différentielle du mouvement de A en appliquant le théorème de
l’énergie cinétique.
2. Les frottements sont suffisamment faibles pour que le régime soit pseudo-périodique. Donner la condition sur h pour qu’il en soit ainsi.
3. On lâche le pendule sans vitesse initiale d’une position faisant un angle θ 0 faible. Linéariser l’équation différentielle du mouvement puis déterminer l’expression de θ en fonction du
temps t.
4. Donner l’allure de la courbe représentant θ en fonction du temps.
17.3 Mouvement d’un anneau sur une piste circulaire d’après CCP 2004 ()
On considère le dispositif de la figure (17.11) où un objet assimilable à un point matériel M
de masse m se déplace solidairement à une piste formée de deux parties circulaires de rayon
R 1 et R 2 , de centre C 1 et C 2 dans un plan vertical.
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