MOUVEMENTS DANS UN PUITS DE POTENTIEL : INFLUENCE DES FROTTEMENTS
2.5 Aspects énergétiques
a) Variations d’énergie
À partir des expressions de x(t) obtenues précédemment, on peut tracer les différentes énergies en fonction du temps, c’est-à-dire :
• l’énergie cinétique : E c =
1
2
m ˙
x
2 ;
• l’énergie potentielle : E p =
1
2
kx
2
=
1
2
mω
2
0 x
2 car k = mω 2
0 ;
• l’énergie mécanique : E m = E c + E p .
La figure 17.10 représente l’évolution de ces différentes énergies dans le cas d’un régime
pseudo-périodique.
1
1
2
3
4
0
t ∗
E ∗
c , E ∗
p , E ∗
m
Figure 17.10 – Évolution des énergies cinétiques (courbe noire), potentielle (courbe
grise) et mécanique (tirets) pour Q = 5, 0.
Dans ce cas, on connaît x(t) = A(t) cos (ωt + ϕ 0 ) où A(t) = X m exp
−
t
τ
avec τ =
2Q
ω 0
. On
en déduit :
E p (t) =
1
2
mω
2
0 A
2
(t) cos
2
(ωt + ϕ 0 ) =
1
2
mω
2
0 A
2
(t)
1
2
(1 + cos(2ωt + 2ϕ 0 )) .
L’énergie potentielle présente des oscillations dont l’amplitude diminue au cours du temps.
La pseudo-période des oscillations vaut
T
2
et l’amplitude décroît de façon exponentielle avec
un temps caractéristique τ
=
τ
2
car A
2
(t) = X
2
m exp
−2
t
τ
.
L’énergie cinétique présente les mêmes caractéristiques mais est en opposition de phase. Au
final, l’énergie mécanique n’oscille quasiment plus et présente quasiment une décroissance
exponentielle de temps caractéristique τ .
b) Origine de la variation d’énergie mécanique
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, on obtient :
d (E c + E p )
dt
= P
−→
f NC
= −λ ˙
x
2
< 0,
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