CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
2.4 Évaluation rapide de la durée des différents régimes
La valeur d’une exponentielle décroissante de la forme exp
−
t
τ
de temps caractéristique τ
est réduite à 1% de sa valeur initiale après une durée Δt = −τ ln
1
100
4, 6τ.
• pour le régime pseudo-périodique, les oscillations voient leur amplitude décroître de façon
exponentielle avec un temps caractéristique τ 1 =
2Q
ω 0
. L’amplitude est réduite à 1% de sa
valeur initiale au bout d’une durée Δt 1 = 4, 6
2Q
ω 0
;
• pour le régime apériodique, les deux termes décroissent de façon exponentielle avec des
temps caractéristiques −
1
r +
et −
1
r −
. La décroissance est limitée par le terme qui possède
la plus grande constante de temps, à savoir τ 2 = −
1
r +
=
2Q
ω 0
1
1 −
1 − 4Q 2
. Ce terme est
réduit à 1% de sa valeur initiale au bout d’une durée Δt 2 = 4, 6τ 2 ;
• pour le régime critique, la solution comporte un terme exponentiel de temps caractéristique
τ 3 =
1
ω 0
. Il est réduit à 1% de sa valeur initiale au bout d’une durée Δt 3 = 4, 6τ 3 ;
2
4
3
−1
1
1
−0.5
0.5
t ∗
x ∗
apériodique
pseudo-périodique
critique
Figure 17.9 – Comparaison des durées des trois régimes.
On peut voir sur la figure 17.9 que, pour une période propre donnée, le régime critique est
celui pour lequel le retour en x = 0 sans oscillations est le plus rapide. On cherche donc à
se rapprocher de ce cas lorsque l’on veut que le système revienne rapidement à l’équilibre.
Cette propriété est expliquée par les inégalités suivantes :
τ 3 < τ 1 pour Q >
1
2
et
τ 3 < τ 2 pour Q <
1
2
.
Il faut noter qu’on a raisonné ici uniquement sur l’amplitude de la solution pseudo-périodique.
Quand on étudie plus finement ce cas, on montre qu’il permet de revenir plus rapidement
en x = 0, à condition que le système puisse osciller sans dommage. Pour une analyse plus
complète, on peut se reporter au chapitre Circuit linéaire du second ordre où on définit précisément le temps de réponse à 5% qui permet de comparer la durée de chacun des régimes
transitoires.
Exemple
Les amortisseurs sont destinés à ramener une voiture rapidement à l’équilibre sans oscillations excessives. On les règle pour qu’ils fonctionnent quasiment au régime critique.
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2.4 Évaluation rapide de la durée des différents régimes
La valeur d’une exponentielle décroissante de la forme exp
−
t
τ
de temps caractéristique τ
est réduite à 1% de sa valeur initiale après une durée Δt = −τ ln
1
100
4, 6τ.
• pour le régime pseudo-périodique, les oscillations voient leur amplitude décroître de façon
exponentielle avec un temps caractéristique τ 1 =
2Q
ω 0
. L’amplitude est réduite à 1% de sa
valeur initiale au bout d’une durée Δt 1 = 4, 6
2Q
ω 0
;
• pour le régime apériodique, les deux termes décroissent de façon exponentielle avec des
temps caractéristiques −
1
r +
et −
1
r −
. La décroissance est limitée par le terme qui possède
la plus grande constante de temps, à savoir τ 2 = −
1
r +
=
2Q
ω 0
1
1 −
1 − 4Q 2
. Ce terme est
réduit à 1% de sa valeur initiale au bout d’une durée Δt 2 = 4, 6τ 2 ;
• pour le régime critique, la solution comporte un terme exponentiel de temps caractéristique
τ 3 =
1
ω 0
. Il est réduit à 1% de sa valeur initiale au bout d’une durée Δt 3 = 4, 6τ 3 ;
2
4
3
−1
1
1
−0.5
0.5
t ∗
x ∗
apériodique
pseudo-périodique
critique
Figure 17.9 – Comparaison des durées des trois régimes.
On peut voir sur la figure 17.9 que, pour une période propre donnée, le régime critique est
celui pour lequel le retour en x = 0 sans oscillations est le plus rapide. On cherche donc à
se rapprocher de ce cas lorsque l’on veut que le système revienne rapidement à l’équilibre.
Cette propriété est expliquée par les inégalités suivantes :
τ 3 < τ 1 pour Q >
1
2
et
τ 3 < τ 2 pour Q <
1
2
.
Il faut noter qu’on a raisonné ici uniquement sur l’amplitude de la solution pseudo-périodique.
Quand on étudie plus finement ce cas, on montre qu’il permet de revenir plus rapidement
en x = 0, à condition que le système puisse osciller sans dommage. Pour une analyse plus
complète, on peut se reporter au chapitre Circuit linéaire du second ordre où on définit précisément le temps de réponse à 5% qui permet de comparer la durée de chacun des régimes
transitoires.
Exemple
Les amortisseurs sont destinés à ramener une voiture rapidement à l’équilibre sans oscillations excessives. On les règle pour qu’ils fonctionnent quasiment au régime critique.
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