MOUVEMENTS DANS UN PUITS DE POTENTIEL : INFLUENCE DES FROTTEMENTS
ment grand (en pratique supérieur à 3), le nombre d’oscillations observables correspond approximativement à Q±1. En effet, pour Q grand, la durée d’une oscillation vaut T T 0 =
2π
ω 0
.
Après Q oscillations, il s’est donc écoulé le temps Δt = Q
2π
ω 0
= π
2Q
ω 0
et l’amplitude A(t) est
réduite à exp (−π) 4.10 −2 fois sa valeur initiale. Si l’amplitude initiale représente 5 cm,
l’amplitude vaut 2 mm après Q oscillations. L’amplitude des oscillations suivantes est encore
plus petite ce qui les rend difficiles à voir.
Remarque
Un oscillateur de bonne qualité présente un grand nombre d’oscillations avant de s’arrêter. Son facteur de qualité est grand.
b) Régime apériodique
Il s’agit du cas où le discriminant est positif :
Δ > 0 ⇔ Q <
1
2
⇔ λ >
1
2
√
km
.
Cela correspond donc au cas où le frottement défini grâce au coefficient λ est fort. L’équation
caractéristique admet alors deux racines réelles :
r ± = −
ω 0
2Q
± ω 0
1
4Q 2 − 1 = −
ω 0
2Q
±
ω 0
2Q
1 − 4Q 2 .
Comme
ω 0
2Q
>
ω 0
2Q
1 − 4Q 2 , les deux racines sont négatives et la solution de l’équation
différentielle :
x(t) = X + exp(r + t) + X − exp(r − t)
est la somme de deux exponentielles décroissantes. L’amplitude diminue au cours du temps
sans que n’apparaissent d’oscillations. Cela correspond bien à ce que l’on observe sur la
figure 17.9 et justifie l’appellation régime apériodique donnée à ce type de solutions.
c) Régime critique
Ce régime est un cas limite qui sépare les deux cas précédents. Il correspond à Δ = 0 soit
Q =
1
2
. L’équation caractéristique admet la racine double r = −ω 0 et la solution s’écrit :
x(t) = (λ t + μ)exp(−ω 0 t),
où λ et μ sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales.
L’allure est la même que pour le régime apériodique et on n’observe pas d’oscillations.
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ment grand (en pratique supérieur à 3), le nombre d’oscillations observables correspond approximativement à Q±1. En effet, pour Q grand, la durée d’une oscillation vaut T T 0 =
2π
ω 0
.
Après Q oscillations, il s’est donc écoulé le temps Δt = Q
2π
ω 0
= π
2Q
ω 0
et l’amplitude A(t) est
réduite à exp (−π) 4.10 −2 fois sa valeur initiale. Si l’amplitude initiale représente 5 cm,
l’amplitude vaut 2 mm après Q oscillations. L’amplitude des oscillations suivantes est encore
plus petite ce qui les rend difficiles à voir.
Remarque
Un oscillateur de bonne qualité présente un grand nombre d’oscillations avant de s’arrêter. Son facteur de qualité est grand.
b) Régime apériodique
Il s’agit du cas où le discriminant est positif :
Δ > 0 ⇔ Q <
1
2
⇔ λ >
1
2
√
km
.
Cela correspond donc au cas où le frottement défini grâce au coefficient λ est fort. L’équation
caractéristique admet alors deux racines réelles :
r ± = −
ω 0
2Q
± ω 0
1
4Q 2 − 1 = −
ω 0
2Q
±
ω 0
2Q
1 − 4Q 2 .
Comme
ω 0
2Q
>
ω 0
2Q
1 − 4Q 2 , les deux racines sont négatives et la solution de l’équation
différentielle :
x(t) = X + exp(r + t) + X − exp(r − t)
est la somme de deux exponentielles décroissantes. L’amplitude diminue au cours du temps
sans que n’apparaissent d’oscillations. Cela correspond bien à ce que l’on observe sur la
figure 17.9 et justifie l’appellation régime apériodique donnée à ce type de solutions.
c) Régime critique
Ce régime est un cas limite qui sépare les deux cas précédents. Il correspond à Δ = 0 soit
Q =
1
2
. L’équation caractéristique admet la racine double r = −ω 0 et la solution s’écrit :
x(t) = (λ t + μ)exp(−ω 0 t),
où λ et μ sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales.
L’allure est la même que pour le régime apériodique et on n’observe pas d’oscillations.
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