CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
où (X m , ϕ 0 ) sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales.
La solution que l’on a représenté sur la figure 17.8 est le produit d’une fonction d’amplitude : A(t) = X m exp
−
ω 0
2Q
t
qui diminue au cours du temps, par un terme d’oscillations
sinusoïdales : cos(ωt + ϕ 0 ). Elle correspond à des oscillations dont l’amplitude diminue au
cours du temps. Cela justifie l’appellation de régime pseudo-périodique donnée à ce type
de solutions. L’amplitude A(t) des oscillations décroît de façon exponentielle avec un temps
caractéristique τ =
2Q
ω 0
.
Pour caractériser les oscillations d’amplitude décroissante, on définit deux grandeurs : la
pseudo-période et le décrément logarithmique.
La pseudo-période Elle caractérise la durée d’une oscillation et mesure la période du terme
oscillant cos(ωt + ϕ 0 ) qui vaut :
T =
2π
ω
=
2π
ω 0
1 −
1
4Q 2
.
1 −
1
4Q 2 < 1 donc T >
2π
ω 0
= T 0 où T 0 est la période de l’oscillateur harmonique associé
ou période propre. La pseudo-période est un peu plus longue que la période propre.
Le décrément logarithmique Il caractérise l’amortissement des oscillations et mesure la
diminution de leur amplitude pendant une pseudo-période :
δ = ln
A(t)
A(t + T )
= ln
⎛
⎜
⎜
⎝
A(t)
A(t) exp
−
ω 0
2Q
T
⎞
⎟
⎟
⎠ =
ω 0
2Q
T =
π
Q
1 −
1
4Q 2
.
Cas d’un amortissement faible Dans le cas d’un amortissement faible, caractérisé par la
présence de nombreuses oscillations avant l’arrêt du mobile, Q 1. On obtient alors :
T
2π
ω 0
= T 0
et
δ
π
Q
.
La mesure de la pseudo-période T et du décrément logarithmique δ donne directement accès
à la pulsation propre ω 0 et au facteur de qualité Q. Les paramètres de l’équation différentielle
sont donc immédiatement accessibles à la mesure.
À la limite où il n’y a pas de frottement, la période est rigoureusement égale à la période
propre (T = T 0 ) et l’amplitude des oscillations est constante (δ = 0), ce qui est cohérent.
Évaluation rapide du facteur de qualité L’amplitude des oscillations décroît de façon exponentielle avec un temps caractéristique τ =
2Q
ω 0
. Lorsque le facteur de qualité Q est suffisam626
où (X m , ϕ 0 ) sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales.
La solution que l’on a représenté sur la figure 17.8 est le produit d’une fonction d’amplitude : A(t) = X m exp
−
ω 0
2Q
t
qui diminue au cours du temps, par un terme d’oscillations
sinusoïdales : cos(ωt + ϕ 0 ). Elle correspond à des oscillations dont l’amplitude diminue au
cours du temps. Cela justifie l’appellation de régime pseudo-périodique donnée à ce type
de solutions. L’amplitude A(t) des oscillations décroît de façon exponentielle avec un temps
caractéristique τ =
2Q
ω 0
.
Pour caractériser les oscillations d’amplitude décroissante, on définit deux grandeurs : la
pseudo-période et le décrément logarithmique.
La pseudo-période Elle caractérise la durée d’une oscillation et mesure la période du terme
oscillant cos(ωt + ϕ 0 ) qui vaut :
T =
2π
ω
=
2π
ω 0
1 −
1
4Q 2
.
1 −
1
4Q 2 < 1 donc T >
2π
ω 0
= T 0 où T 0 est la période de l’oscillateur harmonique associé
ou période propre. La pseudo-période est un peu plus longue que la période propre.
Le décrément logarithmique Il caractérise l’amortissement des oscillations et mesure la
diminution de leur amplitude pendant une pseudo-période :
δ = ln
A(t)
A(t + T )
= ln
⎛
⎜
⎜
⎝
A(t)
A(t) exp
−
ω 0
2Q
T
⎞
⎟
⎟
⎠ =
ω 0
2Q
T =
π
Q
1 −
1
4Q 2
.
Cas d’un amortissement faible Dans le cas d’un amortissement faible, caractérisé par la
présence de nombreuses oscillations avant l’arrêt du mobile, Q 1. On obtient alors :
T
2π
ω 0
= T 0
et
δ
π
Q
.
La mesure de la pseudo-période T et du décrément logarithmique δ donne directement accès
à la pulsation propre ω 0 et au facteur de qualité Q. Les paramètres de l’équation différentielle
sont donc immédiatement accessibles à la mesure.
À la limite où il n’y a pas de frottement, la période est rigoureusement égale à la période
propre (T = T 0 ) et l’amplitude des oscillations est constante (δ = 0), ce qui est cohérent.
Évaluation rapide du facteur de qualité L’amplitude des oscillations décroît de façon exponentielle avec un temps caractéristique τ =
2Q
ω 0
. Lorsque le facteur de qualité Q est suffisam626