MOUVEMENTS DANS UN PUITS DE POTENTIEL : INFLUENCE DES FROTTEMENTS
du mouvement devient :
¨
x +
λ
m
˙
x +
k
m
x = 0 ⇔
d 2 x
dt 2 +
λ
m
dx
dt
+
k
m
x = 0.
Il s’agit de l’équation différentielle d’un oscillateur amorti.
On a déjà rencontré ce type d’équation différentielle lors de l’étude du régime libre du circuit
RLC série dans le chapitre Circuit linéaire du second ordre. La tension u C aux bornes du
condensateur vérifiait alors l’équation différentielle :
d
2 u C
dt 2 +
R
L
du C
dt
+
1
LC
u C = 0,
et on l’avait écrite sous forme canonique :
d 2 u C
dt 2 +
ω 0
Q
du C
dt
+ ω
2
0 u C = 0.
On va procéder de même ici.
En pratique, les phénomènes oscillatoires sont présents dans divers domaines de la physique
et il arrive souvent que l’on puisse les modéliser par une équation différentielle du type oscillateur amorti. Lorsque c’est le cas, le modèle étant identique, ses prévisions seront analogues
à celles que l’on a établi dans le chapitre Circuit linéaire du second ordre. Tous les phénomènes étudiés en électricité (existence de trois régimes transitoires dépendant de l’importance
de la dissipation, phénomène de résonance, etc. . .) peuvent alors exister de manière analogue.
On étudie ici l’influence des frottements sur la nature des régimes libres observés.
2.2 Équation caractéristique et observation
a) Équation caractéristique
L’équation du mouvement :
¨
x +
λ
m
˙
x +
k
m
x = 0,
peut être écrite sous une forme dite canonique :
¨
x +
ω 0
Q
˙
x + ω
2
0 x = 0,
(17.3)
ce qui revient à introduire la pulsation propre ω 0 et le facteur de qualité Q tels que :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
ω 2
0
=
k
m
ω 0
Q
=
λ
m
soit
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
ω 0 =
k
m
Q =
√
km
λ
.
On utilise cette notation dans toute la suite mais d’autres écritures peuvent être adoptées. On
peut notamment utiliser la forme canonique suivante :
¨
x
ω 2
0
+ 2ξ
˙
x
ω 0
+ x = 0,
ce qui revient à utiliser ω 0 et un facteur d’amortissement ξ relié à Q par la relation : ξ =
1
2Q
.
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du mouvement devient :
¨
x +
λ
m
˙
x +
k
m
x = 0 ⇔
d 2 x
dt 2 +
λ
m
dx
dt
+
k
m
x = 0.
Il s’agit de l’équation différentielle d’un oscillateur amorti.
On a déjà rencontré ce type d’équation différentielle lors de l’étude du régime libre du circuit
RLC série dans le chapitre Circuit linéaire du second ordre. La tension u C aux bornes du
condensateur vérifiait alors l’équation différentielle :
d
2 u C
dt 2 +
R
L
du C
dt
+
1
LC
u C = 0,
et on l’avait écrite sous forme canonique :
d 2 u C
dt 2 +
ω 0
Q
du C
dt
+ ω
2
0 u C = 0.
On va procéder de même ici.
En pratique, les phénomènes oscillatoires sont présents dans divers domaines de la physique
et il arrive souvent que l’on puisse les modéliser par une équation différentielle du type oscillateur amorti. Lorsque c’est le cas, le modèle étant identique, ses prévisions seront analogues
à celles que l’on a établi dans le chapitre Circuit linéaire du second ordre. Tous les phénomènes étudiés en électricité (existence de trois régimes transitoires dépendant de l’importance
de la dissipation, phénomène de résonance, etc. . .) peuvent alors exister de manière analogue.
On étudie ici l’influence des frottements sur la nature des régimes libres observés.
2.2 Équation caractéristique et observation
a) Équation caractéristique
L’équation du mouvement :
¨
x +
λ
m
˙
x +
k
m
x = 0,
peut être écrite sous une forme dite canonique :
¨
x +
ω 0
Q
˙
x + ω
2
0 x = 0,
(17.3)
ce qui revient à introduire la pulsation propre ω 0 et le facteur de qualité Q tels que :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
ω 2
0
=
k
m
ω 0
Q
=
λ
m
soit
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
ω 0 =
k
m
Q =
√
km
λ
.
On utilise cette notation dans toute la suite mais d’autres écritures peuvent être adoptées. On
peut notamment utiliser la forme canonique suivante :
¨
x
ω 2
0
+ 2ξ
˙
x
ω 0
+ x = 0,
ce qui revient à utiliser ω 0 et un facteur d’amortissement ξ relié à Q par la relation : ξ =
1
2Q
.
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