CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
x
x max
−x max
E m2
E m1
E 0
E p
O
Figure 17.6 – Puits de potentiel. Avec l’énergie mécanique E m1 , le mobile est confiné
entre les abscisses x max et −x max . Avec l’énergie mécanique E m2 , il peut sortir du puits
et accéder à l’ensemble des positions.
2 Mouvements dans un puits de potentiel : influence des frottements
Dans la partie précédente, on n’a pas tenu compte des forces de frottement. Or les frottements
existent toujours mais se font plus ou moins ressentir. On s’intéresse ici au cas où on peut les
modéliser par une force proportionnelle à la vitesse :
− →
f = −λ − → v .
On restreint l’étude aux mouvements dans un puits de potentiel harmonique pour lequel la
résolution analytique est possible. On peut envisager d’autres formes de potentiels mais il
faudra alors chercher des solutions numériques.
2.1 Équation différentielle du mouvement
On reprend le puits de potentiel harmonique étudié au paragraphe 1. L’énergie mécanique
du système vaut alors E m = E c + E p =
1
2
m ˙
x
2
+
1
2
kx
2
. Le mouvement est à un seul degré de
liberté et on le résout à l’aide du théorème de l’énergie cinétique :
d(E c + E p )
dt
= P(
−→
f NC ),
(17.2)
où P(
−→
f NC ) est la puissance des forces non conservatives, c’est-à-dire ici des frottements
fluides. On calcule alors :
d(E c + E p)
dt
= m ˙
x ¨
x + kx ˙
x,
et
P(
−→
f NC ) = P(
− →
f ) =
−
→
f · −
→ v = −λ − → v · −
→ v = −λ ˙
x
2
,
que l’on remplace dans l’équation (17.2) pour aboutir à m ˙
x ¨
x + kx ˙
x = −λ ˙
x
2
. On simplifie
ensuite par ˙
x qui correspond à un point M immobile à tout instant et l’équation différentielle
622
x
x max
−x max
E m2
E m1
E 0
E p
O
Figure 17.6 – Puits de potentiel. Avec l’énergie mécanique E m1 , le mobile est confiné
entre les abscisses x max et −x max . Avec l’énergie mécanique E m2 , il peut sortir du puits
et accéder à l’ensemble des positions.
2 Mouvements dans un puits de potentiel : influence des frottements
Dans la partie précédente, on n’a pas tenu compte des forces de frottement. Or les frottements
existent toujours mais se font plus ou moins ressentir. On s’intéresse ici au cas où on peut les
modéliser par une force proportionnelle à la vitesse :
− →
f = −λ − → v .
On restreint l’étude aux mouvements dans un puits de potentiel harmonique pour lequel la
résolution analytique est possible. On peut envisager d’autres formes de potentiels mais il
faudra alors chercher des solutions numériques.
2.1 Équation différentielle du mouvement
On reprend le puits de potentiel harmonique étudié au paragraphe 1. L’énergie mécanique
du système vaut alors E m = E c + E p =
1
2
m ˙
x
2
+
1
2
kx
2
. Le mouvement est à un seul degré de
liberté et on le résout à l’aide du théorème de l’énergie cinétique :
d(E c + E p )
dt
= P(
−→
f NC ),
(17.2)
où P(
−→
f NC ) est la puissance des forces non conservatives, c’est-à-dire ici des frottements
fluides. On calcule alors :
d(E c + E p)
dt
= m ˙
x ¨
x + kx ˙
x,
et
P(
−→
f NC ) = P(
− →
f ) =
−
→
f · −
→ v = −λ − → v · −
→ v = −λ ˙
x
2
,
que l’on remplace dans l’équation (17.2) pour aboutir à m ˙
x ¨
x + kx ˙
x = −λ ˙
x
2
. On simplifie
ensuite par ˙
x qui correspond à un point M immobile à tout instant et l’équation différentielle
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