CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
b) Observation de régimes différents selon la valeur de Q
La figure 17.7 illustre les différents comportements adoptés par le système en fonction de la
valeur du facteur de qualité Q. Pour ces graphiques, on a choisi x(t = 0) = x 0 et ˙
x(t = 0) = 0
comme conditions initiales. On étudie donc le régime libre de l’oscillateur amorti qui, éloigné d’une distance x 0 de sa position d’équilibre, y retourne librement. On se sert de x 0 pour
définir une longueur sans dimension x ∗ =
x
x 0
et de la période propre T 0 =
2π
ω 0
pour définir un
temps sans dimension t ∗ =
t
T 0
. La vitesse sans dimension est alors ˙
x ∗ =
dx ∗
dt ∗ = ˙
x
T 0
x 0
. Enfin,
on définit l’énergie mécanique initiale E 0 comme échelle d’énergie et on trace E ∗
c =
E c
E 0
et
E ∗
p =
E p
E 0
. On distingue :
• un cas où l’on observe des oscillations dont l’amplitude diminue au cours du temps appelé
régime pseudo-périodique ;
• un cas où l’on n’observe pas d’oscillations appelé régime apériodique.
Un cas limite appelé régime critique sépare les deux cas précédents. Il n’est pas représenté
mais ressemble fortement au régime apériodique.
2.3 Résolution : les trois régimes
La méthode de résolution de l’équation différentielle (17.3) est détaillée dans l’annexe mathématique et a été pratiquée en électricité. On introduit l’équation caractéristique associée :
r
2
+
ω 0
Q
r + ω
2
0 = 0,
de discriminant Δ =
ω 0
Q
2
− 4ω
2
0 = (2ω 0 )
2
1
4Q 2 − 1
.
On distingue plusieurs types de solutions suivant le signe du discriminant.
a) Régime pseudo-périodique
Il s’agit du cas où le discriminant est négatif :
Δ < 0 ⇔ Q >
1
2
⇔ λ <
1
2
√
km
.
Cela correspond donc au cas où le frottement défini grâce au coefficient λ est faible. On
peut noter que l’oscillateur harmonique correspond à la limite λ = 0. Les deux racines de
l’équation caractéristique sont complexes conjuguées :
r ± = −
ω 0
2Q
± iω 0
1 −
1
4Q 2 = −
ω 0
2Q
± iω,
et la solution de l’équation différentielle s’écrit :
x(t) = X m exp
−
ω 0
2Q
t
cos (ωt + ϕ 0 ) ,
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b) Observation de régimes différents selon la valeur de Q
La figure 17.7 illustre les différents comportements adoptés par le système en fonction de la
valeur du facteur de qualité Q. Pour ces graphiques, on a choisi x(t = 0) = x 0 et ˙
x(t = 0) = 0
comme conditions initiales. On étudie donc le régime libre de l’oscillateur amorti qui, éloigné d’une distance x 0 de sa position d’équilibre, y retourne librement. On se sert de x 0 pour
définir une longueur sans dimension x ∗ =
x
x 0
et de la période propre T 0 =
2π
ω 0
pour définir un
temps sans dimension t ∗ =
t
T 0
. La vitesse sans dimension est alors ˙
x ∗ =
dx ∗
dt ∗ = ˙
x
T 0
x 0
. Enfin,
on définit l’énergie mécanique initiale E 0 comme échelle d’énergie et on trace E ∗
c =
E c
E 0
et
E ∗
p =
E p
E 0
. On distingue :
• un cas où l’on observe des oscillations dont l’amplitude diminue au cours du temps appelé
régime pseudo-périodique ;
• un cas où l’on n’observe pas d’oscillations appelé régime apériodique.
Un cas limite appelé régime critique sépare les deux cas précédents. Il n’est pas représenté
mais ressemble fortement au régime apériodique.
2.3 Résolution : les trois régimes
La méthode de résolution de l’équation différentielle (17.3) est détaillée dans l’annexe mathématique et a été pratiquée en électricité. On introduit l’équation caractéristique associée :
r
2
+
ω 0
Q
r + ω
2
0 = 0,
de discriminant Δ =
ω 0
Q
2
− 4ω
2
0 = (2ω 0 )
2
1
4Q 2 − 1
.
On distingue plusieurs types de solutions suivant le signe du discriminant.
a) Régime pseudo-périodique
Il s’agit du cas où le discriminant est négatif :
Δ < 0 ⇔ Q >
1
2
⇔ λ <
1
2
√
km
.
Cela correspond donc au cas où le frottement défini grâce au coefficient λ est faible. On
peut noter que l’oscillateur harmonique correspond à la limite λ = 0. Les deux racines de
l’équation caractéristique sont complexes conjuguées :
r ± = −
ω 0
2Q
± iω 0
1 −
1
4Q 2 = −
ω 0
2Q
± iω,
et la solution de l’équation différentielle s’écrit :
x(t) = X m exp
−
ω 0
2Q
t
cos (ωt + ϕ 0 ) ,
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