CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
potentiel harmonique. On se pose ici la question de savoir ce qui change lorsque l’amplitude
des oscillations est trop grande pour pouvoir réaliser cette approximation.
On rappelle les caractéristiques essentielles du mouvement harmonique : il s’agit d’oscillations périodiques, de forme sinusoïdale et de période indépendante de l’amplitude. On va
montrer que, lorsque la forme du potentiel n’est plus harmonique, le mouvement est toujours
constitué d’oscillations, mais que ces oscillations ne sont ni sinusoïdales, ni isochrones.
Pour visualiser ces changements, on trace les solutions, obtenues par résolution numérique,
des mouvements de grande amplitude dans le puits de potentiel de la figure 17.4. Ce puits est
de la forme :
E p (x) = E 0
1 − exp
−
x
L
2
,
ce qui fournit une échelle d’énergie E 0 qui caractérise la profondeur du puits de potentiel et
une échelle de longueur L qui caractérise sa largeur. Pour un mobile de masse m, on trouve
alors une échelle de vitesse v 0 =
E 0
m
puisqu’une énergie est égale au produit d’une masse
par une vitesse au carré. On en déduit une échelle de temps t 0 =
L
v 0
= L
m
E 0
.
On peut alors écrire l’équation du mouvement en appliquant le principe fondamental de la
dynamique projeté sur l’axe (Ox) :
d(m ˙
x)
dt
= −
dE p
dx
= −E 0
2x
L 2 exp
−
x
L
2
.
On introduit les grandeurs adimensionnées x
∗
=
x
L
et t
∗
=
t
t 0
et on obtient l’équation différentielle du mouvement adimensionnée :
mL
t 2
0
d 2 (x ∗ )
dt ∗2 = −
2E 0
L
x
∗ exp
−x
∗2
⇐⇒
d 2 x ∗
dt ∗2 = −2x
∗ exp
−x
∗2
que l’on peut résoudre numériquement. Les courbes de la figure 17.5 sont établies avec
comme condition initiale : x(t = 0) = 0 et ˙
x(t = 0) > 0.
Les courbes en trait plein noir correspondent à l’énergie mécanique E m1 faible. Le mouvement est alors de faible amplitude et quasi-sinusoïdal de période T ∗ 4, 5. Les courbes en
trait pointillé correspondent à une énergie mécanique E m2 plus importante. L’amplitude et la
période du mouvement augmentent toutes les deux. La période atteint T ∗ 5, 8. Les courbes
en trait plein gris correspondent à l’énergie mécanique E m3 encore plus grande. L’amplitude
et la période augmentent encore. La période atteint T
∗
10, 9. La trajectoire de phase n’est
clairement plus elliptique.
On peut noter que, dans l’approximation harmonique, les mouvements de faible amplitude
sont sinusoïdaux de pulsation ω 0 =
k
m
où k =
d 2 E p
dx 2
x=0
= 2
E 0
L 2 = 2
m
t 2
0
soit ω 0 =
√
2
t 0
.
La période T =
2π
ω 0
=
√
2πt 0 correspond alors à T
∗
=
√
2π 4, 5.
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potentiel harmonique. On se pose ici la question de savoir ce qui change lorsque l’amplitude
des oscillations est trop grande pour pouvoir réaliser cette approximation.
On rappelle les caractéristiques essentielles du mouvement harmonique : il s’agit d’oscillations périodiques, de forme sinusoïdale et de période indépendante de l’amplitude. On va
montrer que, lorsque la forme du potentiel n’est plus harmonique, le mouvement est toujours
constitué d’oscillations, mais que ces oscillations ne sont ni sinusoïdales, ni isochrones.
Pour visualiser ces changements, on trace les solutions, obtenues par résolution numérique,
des mouvements de grande amplitude dans le puits de potentiel de la figure 17.4. Ce puits est
de la forme :
E p (x) = E 0
1 − exp
−
x
L
2
,
ce qui fournit une échelle d’énergie E 0 qui caractérise la profondeur du puits de potentiel et
une échelle de longueur L qui caractérise sa largeur. Pour un mobile de masse m, on trouve
alors une échelle de vitesse v 0 =
E 0
m
puisqu’une énergie est égale au produit d’une masse
par une vitesse au carré. On en déduit une échelle de temps t 0 =
L
v 0
= L
m
E 0
.
On peut alors écrire l’équation du mouvement en appliquant le principe fondamental de la
dynamique projeté sur l’axe (Ox) :
d(m ˙
x)
dt
= −
dE p
dx
= −E 0
2x
L 2 exp
−
x
L
2
.
On introduit les grandeurs adimensionnées x
∗
=
x
L
et t
∗
=
t
t 0
et on obtient l’équation différentielle du mouvement adimensionnée :
mL
t 2
0
d 2 (x ∗ )
dt ∗2 = −
2E 0
L
x
∗ exp
−x
∗2
⇐⇒
d 2 x ∗
dt ∗2 = −2x
∗ exp
−x
∗2
que l’on peut résoudre numériquement. Les courbes de la figure 17.5 sont établies avec
comme condition initiale : x(t = 0) = 0 et ˙
x(t = 0) > 0.
Les courbes en trait plein noir correspondent à l’énergie mécanique E m1 faible. Le mouvement est alors de faible amplitude et quasi-sinusoïdal de période T ∗ 4, 5. Les courbes en
trait pointillé correspondent à une énergie mécanique E m2 plus importante. L’amplitude et la
période du mouvement augmentent toutes les deux. La période atteint T ∗ 5, 8. Les courbes
en trait plein gris correspondent à l’énergie mécanique E m3 encore plus grande. L’amplitude
et la période augmentent encore. La période atteint T
∗
10, 9. La trajectoire de phase n’est
clairement plus elliptique.
On peut noter que, dans l’approximation harmonique, les mouvements de faible amplitude
sont sinusoïdaux de pulsation ω 0 =
k
m
où k =
d 2 E p
dx 2
x=0
= 2
E 0
L 2 = 2
m
t 2
0
soit ω 0 =
√
2
t 0
.
La période T =
2π
ω 0
=
√
2πt 0 correspond alors à T
∗
=
√
2π 4, 5.
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