MOUVEMENT CONSERVATIF DANS UN PUITS DE POTENTIEL
{
E p
x
O
zone de validité de l’approximation harmonique
Figure 17.4 – Puits de potentiel (trait plein) et son approximation harmonique valable
au voisinage du minimum d’énergie potentielle (en pointillé).
En utilisant le fait que
dE p
dx
x=x eq
= 0, en notant k =
d
2 E p
dx 2
x=x eq
> 0 et en restant au voisinage de x eq , l’équation (17.1) permet d’assimiler la fonction E p (x) à une parabole d’équation :
E p (x) = E p (x eq ) + k
x − x eq
2
2
.
L’énergie potentielle étant définie à une constante près, il est toujours possible de choisir la
référence des énergies potentielles en x = x eq pour fixer E p (x eq ) = 0. En posant X = x− x eq , ce
qui revient à décaler l’origine de l’axe des x à la position d’équilibre, on peut ensuite réécrire
l’énergie potentielle sous la forme :
E p (x) =
1
2
kX
2
.
On peut assimiler le potentiel au voisinage de la position x eq à un potentiel harmonique de
constante de rappel élastique k =
d 2 E p
dx 2
x=x eq
. On est alors ramené au cas d’école du paragraphe précédent.
Les mouvements de faibles amplitudes au voisinage d’une position d’équilibre stable
peuvent être assimilés à des mouvements d’oscillations harmoniques centrées sur la
position d’équilibre x eq et de pulsation ω 0 =
k
m
où la constante de rappel élastique k
est donnée par la relation :
k =
d 2 E p
dx 2
x=x eq
.
b) Mouvements de grande amplitude dans un puits de potentiel quelconque
On a vu dans le paragraphe précédent que les mouvements de faible amplitude au voisinage
d’une position d’équilibre stable pouvent être modélisés par des mouvements dans un puits de
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