CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
Le mouvement de M présente des oscillations sinusoïdales de période T =
2π
ω 0
= 2π
m
k
,
d’amplitude X m et de phase à l’origine ϕ 0 . La figure 17.3 représente l’évolution de son abscisse x(t) au cours du temps.
Dans un puits de potentiel harmonique E p (x) =
1
2
kx
2 , un mobile de masse m est animé
d’oscillations sinusoïdales dont la période T = 2π
m
k
ne dépend pas de l’amplitude.
On parle d’isochronisme des oscillations.
1.2 Mouvement dans un puits de potentiel quelconque
a) Mouvement de faible amplitude au voisinage d’une position d’équilibre stable
On considère une particule ponctuelle de masse m soumise à la seule force
− →
F conservative
dirigée selon le vecteur − → u x et ne dépendant que de x. Cette force dérive de l’énergie potentielle
E p ne dépendant que d’un paramètre de position x. On a établi dans le chapitre précédent :
− →
F = F x (x) − → u x
avec
F x (x) = −
dE p
dx
.
On a également établi qu’en un point d’équilibre stable d’abscisse x eq , la force
− →
F s’annule et
l’énergie potentielle admet un minimum. Dans le cas où E p (x) est deux fois dérivable et où
sa dérivée seconde n’est pas nulle en x = x eq , on en a déduit que :
dE p
dx
x=x eq
= 0
et
d 2 E p
dx 2
x=x eq
> 0.
Même si la force
− →
F n’est pas une force de rappel élastique, on va montrer que, sous réserve
de ne pas trop s’éloigner de la position d’équilibre stable d’abscisse x eq , on peut assimiler le
mouvement du mobile au mouvement obtenu dans un puits de potentiel harmonique.
Graphiquement, cette approximation revient à assimiler l’énergie potentielle tracée en trait
plein sur la figure 17.4 au potentiel harmonique tangent de forme parabolique tracé en pointillés sur la même figure. Il est visible que cette approximation n’est valable qu’au voisinage
du minimum d’énergie potentielle.
Analytiquement, on peut effectuer un développement limité à l’ordre 2 de l’énergie potentielle au voisinage d’une position d’équilibre stable x eq :
E p (x) = E p (x eq ) +
x − x eq
dE p
dx
x=x eq
+
x − x eq
2
2
d
2 E p
dx 2
x=x eq
.
(17.1)
Le fait d’effectuer un développement limité restreint la validité de l’étude qui en découle à de
faibles écarts à la position d’équilibre x eq .
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Le mouvement de M présente des oscillations sinusoïdales de période T =
2π
ω 0
= 2π
m
k
,
d’amplitude X m et de phase à l’origine ϕ 0 . La figure 17.3 représente l’évolution de son abscisse x(t) au cours du temps.
Dans un puits de potentiel harmonique E p (x) =
1
2
kx
2 , un mobile de masse m est animé
d’oscillations sinusoïdales dont la période T = 2π
m
k
ne dépend pas de l’amplitude.
On parle d’isochronisme des oscillations.
1.2 Mouvement dans un puits de potentiel quelconque
a) Mouvement de faible amplitude au voisinage d’une position d’équilibre stable
On considère une particule ponctuelle de masse m soumise à la seule force
− →
F conservative
dirigée selon le vecteur − → u x et ne dépendant que de x. Cette force dérive de l’énergie potentielle
E p ne dépendant que d’un paramètre de position x. On a établi dans le chapitre précédent :
− →
F = F x (x) − → u x
avec
F x (x) = −
dE p
dx
.
On a également établi qu’en un point d’équilibre stable d’abscisse x eq , la force
− →
F s’annule et
l’énergie potentielle admet un minimum. Dans le cas où E p (x) est deux fois dérivable et où
sa dérivée seconde n’est pas nulle en x = x eq , on en a déduit que :
dE p
dx
x=x eq
= 0
et
d 2 E p
dx 2
x=x eq
> 0.
Même si la force
− →
F n’est pas une force de rappel élastique, on va montrer que, sous réserve
de ne pas trop s’éloigner de la position d’équilibre stable d’abscisse x eq , on peut assimiler le
mouvement du mobile au mouvement obtenu dans un puits de potentiel harmonique.
Graphiquement, cette approximation revient à assimiler l’énergie potentielle tracée en trait
plein sur la figure 17.4 au potentiel harmonique tangent de forme parabolique tracé en pointillés sur la même figure. Il est visible que cette approximation n’est valable qu’au voisinage
du minimum d’énergie potentielle.
Analytiquement, on peut effectuer un développement limité à l’ordre 2 de l’énergie potentielle au voisinage d’une position d’équilibre stable x eq :
E p (x) = E p (x eq ) +
x − x eq
dE p
dx
x=x eq
+
x − x eq
2
2
d
2 E p
dx 2
x=x eq
.
(17.1)
Le fait d’effectuer un développement limité restreint la validité de l’étude qui en découle à de
faibles écarts à la position d’équilibre x eq .
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