MOUVEMENT CONSERVATIF DANS UN PUITS DE POTENTIEL
On reconnaît l’équation cartésienne d’une
ellipse du plan de phase (x, ˙
x) dont la
forme générale est décrite dans l’appendice mathématique :
x 2
a 2 +
˙
x 2
b 2 = 1,
avec ici a = X m et b = ω 0 X m . La trajectoire de phase d’un mouvement harmonique est une ellipse.
X m
ω 0 X m
x
˙
x
O
Figure 17.2 – Trajectoire de phase
du mouvement de M.
La trajectoire de phase est une courbe fermée. Le mouvement est donc périodique. Par
ailleurs, l’amplitude est nécessairement égale à X m .
c) Équation horaire du mouvement
L’équation énergétique du mouvement E m = E c + E p =
1
2
m ˙
x
2
+
1
2
kx
2 a déjà été étudiée dans
le chapitre sur l’oscillateur harmonique. On obtient l’équation du mouvement en la dérivant
par rapport au temps. On pose ω 0 =
k
m
et elle se met sous la forme :
¨
x + ω
2
0 x = 0.
C’est l’équation du mouvement d’un oscillateur harmonique de pulsation propre ω 0 =
k
m
.
Les solutions de cette équation ont été étudiées en détail au chapitre sur l’oscillateur harmonique. Elles présentent des oscillations sinusoïdales de pulsation ω 0 que l’on écrit :
x(t) = X m cos (ω 0 t + ϕ 0 ) .
X m
−X m
•
C.I. : position x 0 , pente v 0
t 0
T
t
x(t)
O
Figure 17.3 – Évolution temporelle de la position x du mobile.
À l’aide des conditions initiales, on trouve les expressions de X m et de ϕ 0 :
X m =
x 2
0 +
v 0
ω 0
2
et
ϕ 0 vérifie
⎧
⎨
⎩
cos ϕ 0 =
x 0
X m
sin ϕ 0 = −
v 0
ω 0 X m
.
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On reconnaît l’équation cartésienne d’une
ellipse du plan de phase (x, ˙
x) dont la
forme générale est décrite dans l’appendice mathématique :
x 2
a 2 +
˙
x 2
b 2 = 1,
avec ici a = X m et b = ω 0 X m . La trajectoire de phase d’un mouvement harmonique est une ellipse.
X m
ω 0 X m
x
˙
x
O
Figure 17.2 – Trajectoire de phase
du mouvement de M.
La trajectoire de phase est une courbe fermée. Le mouvement est donc périodique. Par
ailleurs, l’amplitude est nécessairement égale à X m .
c) Équation horaire du mouvement
L’équation énergétique du mouvement E m = E c + E p =
1
2
m ˙
x
2
+
1
2
kx
2 a déjà été étudiée dans
le chapitre sur l’oscillateur harmonique. On obtient l’équation du mouvement en la dérivant
par rapport au temps. On pose ω 0 =
k
m
et elle se met sous la forme :
¨
x + ω
2
0 x = 0.
C’est l’équation du mouvement d’un oscillateur harmonique de pulsation propre ω 0 =
k
m
.
Les solutions de cette équation ont été étudiées en détail au chapitre sur l’oscillateur harmonique. Elles présentent des oscillations sinusoïdales de pulsation ω 0 que l’on écrit :
x(t) = X m cos (ω 0 t + ϕ 0 ) .
X m
−X m
•
C.I. : position x 0 , pente v 0
t 0
T
t
x(t)
O
Figure 17.3 – Évolution temporelle de la position x du mobile.
À l’aide des conditions initiales, on trouve les expressions de X m et de ϕ 0 :
X m =
x 2
0 +
v 0
ω 0
2
et
ϕ 0 vérifie
⎧
⎨
⎩
cos ϕ 0 =
x 0
X m
sin ϕ 0 = −
v 0
ω 0 X m
.
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