CHAPITRE 17 – MOUVEMENT DANS UN PUITS DE POTENTIEL
Le mouvement de M a lieu sur l’axe (Ox). Le point M est repéré par son vecteur position
− − →
OM = x − → u x et sa vitesse vaut − → v = ˙
x − → u x . L’équation du mouvement donnée par la conservation
de l’énergie mécanique s’écrit donc :
E m =
1
2
mv
2
+ E p (x) =
1
2
m ˙
x
2
+
1
2
kx
2
= constante,
et on peut déterminer cette constante à l’instant initial : E m (t = 0) =
1
2
mv
2
0 +
1
2
kx
2
0 = E m 0 .
a) Graphe énergétique
On peut alors tracer le graphe énergétique de ce mouvement en faisant apparaître l’énergie
mécanique E m 0 . La courbe d’énergie potentielle est une parabole et la position x = 0 est un
minimum d’énergie potentielle. Il s’agit donc d’une position d’équilibre stable. L’ensemble
des positions accessibles vérifie E m 0 > E p (x). C’est un segment [−X m , X m ] symétrique par
rapport à la position d’équilibre. La trajectoire est une trajectoire liée et le mobile M oscille
périodiquement avec une amplitude X m autour de sa position d’équilibre.
E m 0
−X m
X m
x
E p(x)
E c
Figure 17.1 – Potentiel harmonique.
Pour le mouvement d’énergie mécanique E m 0 , le point x = X m est un point où l’énergie cinétique E c s’annule. C’est donc un point de vitesse nulle et X m vérifie :
E p (x = X m ) =
1
2
kX
2
m = E m 0 =
1
2
mv
2
0 +
1
2
kx
2
0
=⇒
X m =
x 2
0 +
m
k
v 2
0 .
b) Trajectoire de phase
On peut alors réécrire l’équation du mouvement en introduisant l’amplitude X m :
1
2
kx
2
+
1
2
m ˙
x
2
=
1
2
kX
2
m
puis divisant cette équation par
1
2
k et en posant ω 0 =
k
m
:
ω
2
0 x
2
+ ˙
x
2
= ω
2
0 X
2
m .
⇐⇒
x 2
X 2
m
+
˙
x 2
(ω 0 X m ) 2 = 1.
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Le mouvement de M a lieu sur l’axe (Ox). Le point M est repéré par son vecteur position
− − →
OM = x − → u x et sa vitesse vaut − → v = ˙
x − → u x . L’équation du mouvement donnée par la conservation
de l’énergie mécanique s’écrit donc :
E m =
1
2
mv
2
+ E p (x) =
1
2
m ˙
x
2
+
1
2
kx
2
= constante,
et on peut déterminer cette constante à l’instant initial : E m (t = 0) =
1
2
mv
2
0 +
1
2
kx
2
0 = E m 0 .
a) Graphe énergétique
On peut alors tracer le graphe énergétique de ce mouvement en faisant apparaître l’énergie
mécanique E m 0 . La courbe d’énergie potentielle est une parabole et la position x = 0 est un
minimum d’énergie potentielle. Il s’agit donc d’une position d’équilibre stable. L’ensemble
des positions accessibles vérifie E m 0 > E p (x). C’est un segment [−X m , X m ] symétrique par
rapport à la position d’équilibre. La trajectoire est une trajectoire liée et le mobile M oscille
périodiquement avec une amplitude X m autour de sa position d’équilibre.
E m 0
−X m
X m
x
E p(x)
E c
Figure 17.1 – Potentiel harmonique.
Pour le mouvement d’énergie mécanique E m 0 , le point x = X m est un point où l’énergie cinétique E c s’annule. C’est donc un point de vitesse nulle et X m vérifie :
E p (x = X m ) =
1
2
kX
2
m = E m 0 =
1
2
mv
2
0 +
1
2
kx
2
0
=⇒
X m =
x 2
0 +
m
k
v 2
0 .
b) Trajectoire de phase
On peut alors réécrire l’équation du mouvement en introduisant l’amplitude X m :
1
2
kx
2
+
1
2
m ˙
x
2
=
1
2
kX
2
m
puis divisant cette équation par
1
2
k et en posant ω 0 =
k
m
:
ω
2
0 x
2
+ ˙
x
2
= ω
2
0 X
2
m .
⇐⇒
x 2
X 2
m
+
˙
x 2
(ω 0 X m ) 2 = 1.
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