Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
En excluant l’immobilité ( ˙
θ = 0 ∀t), on trouve l’équation classique du pendule simple :
¨
θ +
g
L
sin θ = 0.
2. Pour sin θ θ , on trouve des oscillations sinusoïdales de pulsation ω 0 =
g/L et de
période T 0 = 2π/ω 0 . Entre l’instant initial et t
−
1 il y a un quart de période, soit T 0 /4, d’où
δt I =
π
2
L
g
.
3. La tension ne travaille pas et le poids est conservatif donc l’énergie mécanique E m se
conserve. L’énergie potentielle du poids a pour expression mgz = −mgL cos θ si on la prend
nulle en O. On écrit l’égalité des expressions de E m à t = 0 et à t
−
1 :
−mgL cosθ 0 =
1
2
mv
−2
1 − mgL → v
−
1 = −
2gL(1 − cosθ 0 ).
La vitesse angulaire est donc ω
−
1 = v
−
1 /L soit ω
−
1 = −
2g(1 − cosθ 0 )
L
.
4. D’après l’énoncé E m (t
−
1 ) = E m (t
+
1 ), donc puisque la position est pratiquement la même,
l’énergie potentielle est la même et il y égalité des énergies cinétique d’où v
−
1 = v
+
1 . En
revanche ω
+
1 = v
+
1 /(2L/3) d’où :
ω
+
1 = −
3
2
2g(1 − cosθ 0 )
L
.
Du fait du raccourcissement brutal de la longueur de fil, la vitesse angulaire du pendule varie
brutalement.
5. La deuxième phase correspond à une demi période d’un pendule de longueur 2L/3, donc
la durée est δt II = π
2L
3g
.
6. On écrit de nouveau l’égalité de l’énergie mécanique entre t
+
1 et t 2 sachant qu’ à t 2 l’altitude
z vaut −
L
3
−
2L
3
cos θ 2 :
1
2
mv
+2
1 − mgL = −mg
L
3
(1 + 2 cosθ 2 ) ⇒ cos θ 2 =
3 cosθ 0 − 1
2
.
7. Après la phase 2, on effectue une phase 2 inversée par rapport à la phase 2 puis une
phase 1’ inversée par rapport à la phase 1 qui ramène le pendule dans sa position initiale. Le
pendule repart alors pour un mouvement identique (mouvement périodique). Dans la réalité
l’oscillation va peu à peu s’amortir en raison des frottements.
La période T est la somme d’une demi période d’un pendule de longueur L et d’une demi
période d’un pendule de longueur 2L/3 soit T = π
L
g
1 +
2
3
.
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CORRIGÉS
En excluant l’immobilité ( ˙
θ = 0 ∀t), on trouve l’équation classique du pendule simple :
¨
θ +
g
L
sin θ = 0.
2. Pour sin θ θ , on trouve des oscillations sinusoïdales de pulsation ω 0 =
g/L et de
période T 0 = 2π/ω 0 . Entre l’instant initial et t
−
1 il y a un quart de période, soit T 0 /4, d’où
δt I =
π
2
L
g
.
3. La tension ne travaille pas et le poids est conservatif donc l’énergie mécanique E m se
conserve. L’énergie potentielle du poids a pour expression mgz = −mgL cos θ si on la prend
nulle en O. On écrit l’égalité des expressions de E m à t = 0 et à t
−
1 :
−mgL cosθ 0 =
1
2
mv
−2
1 − mgL → v
−
1 = −
2gL(1 − cosθ 0 ).
La vitesse angulaire est donc ω
−
1 = v
−
1 /L soit ω
−
1 = −
2g(1 − cosθ 0 )
L
.
4. D’après l’énoncé E m (t
−
1 ) = E m (t
+
1 ), donc puisque la position est pratiquement la même,
l’énergie potentielle est la même et il y égalité des énergies cinétique d’où v
−
1 = v
+
1 . En
revanche ω
+
1 = v
+
1 /(2L/3) d’où :
ω
+
1 = −
3
2
2g(1 − cosθ 0 )
L
.
Du fait du raccourcissement brutal de la longueur de fil, la vitesse angulaire du pendule varie
brutalement.
5. La deuxième phase correspond à une demi période d’un pendule de longueur 2L/3, donc
la durée est δt II = π
2L
3g
.
6. On écrit de nouveau l’égalité de l’énergie mécanique entre t
+
1 et t 2 sachant qu’ à t 2 l’altitude
z vaut −
L
3
−
2L
3
cos θ 2 :
1
2
mv
+2
1 − mgL = −mg
L
3
(1 + 2 cosθ 2 ) ⇒ cos θ 2 =
3 cosθ 0 − 1
2
.
7. Après la phase 2, on effectue une phase 2 inversée par rapport à la phase 2 puis une
phase 1’ inversée par rapport à la phase 1 qui ramène le pendule dans sa position initiale. Le
pendule repart alors pour un mouvement identique (mouvement périodique). Dans la réalité
l’oscillation va peu à peu s’amortir en raison des frottements.
La période T est la somme d’une demi période d’un pendule de longueur L et d’une demi
période d’un pendule de longueur 2L/3 soit T = π
L
g
1 +
2
3
.
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