Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 16 – ASPECTS ÉNERGÉTIQUES DE LA DYNAMIQUE DU POINT
b. Comme l’énergie cinétique est positive ou nulle, le mouvement a lieu dans les zones
telles que E m ≥ E p , l’égalité correspondant aux positions extrêmes. Sur la figure (16.12), on
a tracé l’énergie mécanique égale à
1
2
V
2
0 , car à t = 0 E p = 0. Elle est supérieure à E p en v
car l’énergie cinétique initiale n’est pas nulle.
Les points extrêmes atteints correspondent à une énergie cinétique nulle, donc :
E m = E p ⇒
1
2
mV
2
0 = mgX cos α +
1
2
k(X − v )
2
− mg v cos α.
D’après la figure X 1 > 0 si E m < E p (0) soit :
1
2
mV
2
0 <
1
2
k
2
v − mg v cos α ⇒ V 0 < ±
2
v − 2mg v cos α
m
En pratique le point O ne pourra pas être atteint à cause de la longueur minimale du ressort
lorsque toutes les spires se touchent.
c. On obtient l’expression de la vitesse en écrivant que l’énergie mécanique à tout instant
est égale sa valeur à t = 0 :
1
2
mV
2
+ mgX cos α +
1
2
k(X − v )
2
− mg v cos α =
1
2
mV
2
0
soit
V = ±
V 2
0 − 2gX cos α −
k(X − v ) 2
m
+ 2g v cos α.
Pour déterminer X(t), on utilise l’équation du mouvement établie à la question 2. On pose
X min = v −
mg cosα
k
et ω 0 =
k/m, d’où :
¨
X + ω
2
0 X = ω
2
0 X min ⇒ X = X min + A cosω 0 t + B sin ω 0 t.
On détermine les constantes à t = 0 soit, X(0) = v = X min + A et ˙
X(0) = V 0 = ω 0 B d’où :
X(t) = X min + ( v − X min ) cos ω 0 t +
V 0
ω 0
sin ω 0 t.
16.8 Pendule simple modifié
Le référentiel du laboratoire est considéré galiléen. Les forces s’exerçant sur le système sont :
le poids m − → g et la tension du fil
− →
T .
1. Le théorème de la puissance mécanique appliqué à la première phase donne :
dE c
dt
= P ⇒ mv
dv
dt
= m − → g · −
→ v +
−
→
T · −
→ v .
Sachant que pendant la première phase, le mouvement est circulaire de rayon L, on a − → v =
L ˙
θ − →
u θ . Ainsi puisque
− →
T est perpendiculaire à − → v , on trouve :
L
2 ˙
θ ¨
θ = −mgL ˙
θ sin θ .
612
CHAPITRE 16 – ASPECTS ÉNERGÉTIQUES DE LA DYNAMIQUE DU POINT
b. Comme l’énergie cinétique est positive ou nulle, le mouvement a lieu dans les zones
telles que E m ≥ E p , l’égalité correspondant aux positions extrêmes. Sur la figure (16.12), on
a tracé l’énergie mécanique égale à
1
2
V
2
0 , car à t = 0 E p = 0. Elle est supérieure à E p en v
car l’énergie cinétique initiale n’est pas nulle.
Les points extrêmes atteints correspondent à une énergie cinétique nulle, donc :
E m = E p ⇒
1
2
mV
2
0 = mgX cos α +
1
2
k(X − v )
2
− mg v cos α.
D’après la figure X 1 > 0 si E m < E p (0) soit :
1
2
mV
2
0 <
1
2
k
2
v − mg v cos α ⇒ V 0 < ±
2
v − 2mg v cos α
m
En pratique le point O ne pourra pas être atteint à cause de la longueur minimale du ressort
lorsque toutes les spires se touchent.
c. On obtient l’expression de la vitesse en écrivant que l’énergie mécanique à tout instant
est égale sa valeur à t = 0 :
1
2
mV
2
+ mgX cos α +
1
2
k(X − v )
2
− mg v cos α =
1
2
mV
2
0
soit
V = ±
V 2
0 − 2gX cos α −
k(X − v ) 2
m
+ 2g v cos α.
Pour déterminer X(t), on utilise l’équation du mouvement établie à la question 2. On pose
X min = v −
mg cosα
k
et ω 0 =
k/m, d’où :
¨
X + ω
2
0 X = ω
2
0 X min ⇒ X = X min + A cosω 0 t + B sin ω 0 t.
On détermine les constantes à t = 0 soit, X(0) = v = X min + A et ˙
X(0) = V 0 = ω 0 B d’où :
X(t) = X min + ( v − X min ) cos ω 0 t +
V 0
ω 0
sin ω 0 t.
16.8 Pendule simple modifié
Le référentiel du laboratoire est considéré galiléen. Les forces s’exerçant sur le système sont :
le poids m − → g et la tension du fil
− →
T .
1. Le théorème de la puissance mécanique appliqué à la première phase donne :
dE c
dt
= P ⇒ mv
dv
dt
= m − → g · −
→ v +
−
→
T · −
→ v .
Sachant que pendant la première phase, le mouvement est circulaire de rayon L, on a − → v =
L ˙
θ − →
u θ . Ainsi puisque
− →
T est perpendiculaire à − → v , on trouve :
L
2 ˙
θ ¨
θ = −mgL ˙
θ sin θ .
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