Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
16.7 Tige avec ressort
1. Le référentiel du laboratoire est considéré galiléen. Le système M est soumis à son poids,
à la tension du ressort et à la réaction de la tige.
La réaction ne travaille pas et les deux autres forces sont conservatives donc l’énergie mécanique est constante.
L’énergie potentielle associée au poids est mgz + cte et celle dont dérive la tension du ressort
1
2
k( − v )
2
+ cte. Dans le cas présent, la longueur du ressort = X et l’altitude z = X cos α.
d’où l’expression de l’énergie potentielle totale :
E p = mgX cosα +
1
2
k(X − v )
2
+ cte.
On prend par exemple E p = 0 pour X = v et on obtient l’expression de la constante : cte =
−mg v cosα.
2. On exprime l’énergie mécanique :
E m =
1
2
m ˙
X
2
+ mgX cos α +
1
2
k(X − v )
2
− mg v cos α.
Comme elle est constante, sa dérivée est nulle :
dE m
dt
= ˙
X(m ¨
X + mg cosα + k(X − v )) = 0.
On exclut ˙
X = 0 ∀t qui correspond à l’immobilité, d’où l’équation du mouvement :
¨
X +
k
m
X =
k
m
v − mg cosα.
3. Etude graphique.
a. Pour étudier la fonction E p , on commence par calculer sa dérivée :
dE p
dX
= mg cosα + k(X − v ).
Cette dérivée est nulle pour X = v −
mg cosα
k
qui est bien positif d’après l’hypothèse de
l’énoncé. Cette position correspond à un minimum E p,min = −
(mg cosα) 2
2k
. On trace alors
E p (x) :
E p
E p
X
X E p,min
E p,min
X min
X min
X1
X2
E m
v
Figure 16.12
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