Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 16 – ASPECTS ÉNERGÉTIQUES DE LA DYNAMIQUE DU POINT
16.6 Bille dans une gouttière
Le référentiel lié au sol est galiléen. Les forces s’appliquant au système M sont le poids (force
conservative) et la réaction du support
− →
R (force de travail nul).
1. Le poids est conservatif et la réaction normale ne travaille pas. On est donc dans un cas de
conservation de l’énergie mécanique :
E m (A) = E m (O) ⇒
1
2
mv
2
A + mgy A =
1
2
mv
2
O + mgy O ,
soit puisque v A = 0 :
1
2
mv
2
O = mg(y A − y O ) = mgh ⇒ v O =
2gh.
Pour calculer la vitesse en un point M quelconque du cercle. On repère M par sa coordonnée
angulaire θ et on reprend le même raisonnement entre O et M. D’après la figure (16.11),
l’altitude de M est z = a(1 − cosθ ). On obtient alors :
v m =
2(h + a(cosθ − 1)).
2. Pour déterminer la réaction, on fait l’hypothèse que la bille reste en contact avec la gouttière. Dans ce cas, son mouvement est circulaire et on utilise les relations cinématiques :
−→
CM = a − → u r ; − → v = a ˙
θ − →
u θ ; −
→ a = −
v 2
a
− → u r + a ¨
θ − →
u θ .
On applique alors la relation fondamentale de la dynamique en projection sur − → u r soit :
−m
v 2
a
= −R + mg cosθ .
En utilisant la vitesse v M calculée précédemment, on
obtient la réaction en M :
R = mg
3 cosθ + 2
h
a
− 2
.
S
C
O
M
y
x
− → e y
− → e x
θ
− →
R
m − → g
− → g
− → u r
− →
u θ
Figure 16.11
3. Pour que la bille ait un mouvement révolutif, il faut que la réaction ne s’annule en aucun
point du cercle. Son expression montre qu’elle est minimale en θ = π (au sommet S du
cercle). On souhaite donc que R(θ = π) > 0 soit :
mg
−3 + 2
h
a
− 2
> 0 ⇒ h >
5
2
a.
Il faut donc lâcher la bille d’une hauteur 2,5 fois supérieure à celle de S pour que la bille
puisse faire un tour en étant plaquée sur la piste.
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