Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
1. On lui applique le théorème de la puissance cinétique donne :
dE c
dt
= P(m − → g ) + P(
− →
F f ) + P(
− →
R ) + P
or le déplacement est horizontal donc le poids et la réaction ont une puissance nulle. La
puissance de la force de frottement est : P(
− →
F f ) = −kv − → v · − → v = −kv
3
. En dérivant l’énergie
cinétique on trouve :
mv
dv
dt
= P − kv
3
.
D’autre part, on peut écrire :
dv
dt
=
dv
dx
dx
dt
=
dv
dx
v. En remplaçant dans la précédente équation,
on trouve l’équation demandée :
mv
2 dv
dx
= P − kv
3
= k
v
3
l − v
3
,
où kv
3
l = P ⇒ v l =
P
k
1
3
est la vitesse limite pour laquelle la puissance motrice P est
compensée par la puissance de freinage des frottements fluides. On peut remarquer que, pour
v = v l ,
dv
dt
= 0 et le mouvement est uniforme.
2. On introduit f (x) = k
v 3
l − v 3
.
a. La dérivée de f (x) par rapport à x donne f (x) = −3kv 2 dv
dx
. L’équation différentielle
précédente devient alors :
−
m
3k
f
(x) = f (x) ⇔ f
(x) +
3k
m
f (x) = 0,
équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant.
b. On pose L =
m
3k
, ce qui donne alors : f (x) = A exp(−x/L). Or à t = 0, x = 0 et v = v 0
soit f (0) = A = k
v 3
l − v 3
0
. On en déduit finalement la vitesse :
v(x) = v l
1 −
1 −
v 0
v l
3
exp
−
x
L
1/3
.
Si v l > v 0 , le cycliste accélère jusqu’à atteindre la vitesse v l . Si v l < v 0 , le cycliste ralenti
jusqu’à atteindre la vitesse v l . Cela confirme bien que v l est la vitesse limite du cycliste. L est
la distance caractéristique nécessaire pour que le cycliste atteigne sa vitesse limite.
c. Avec P = 2 kW et v l = 20 m·s −1 , on trouve k =
P
v 3
l
= 0,25 kg·m −1 . On en déduit L =
m
3k
= 113 m. Il faut quelques L pour atteindre cette vitesse limite de 70 km·h
−1 (de l’ordre de
3 à 5). C’est une distance importante sur laquelle le cycliste ne pourra pas maintenir une telle
puissance. C’est pour cela que des équipiers lui « lance » le sprint en le protégeant de l’air ce
qui diminue le coefficient k.
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CORRIGÉS
1. On lui applique le théorème de la puissance cinétique donne :
dE c
dt
= P(m − → g ) + P(
− →
F f ) + P(
− →
R ) + P
or le déplacement est horizontal donc le poids et la réaction ont une puissance nulle. La
puissance de la force de frottement est : P(
− →
F f ) = −kv − → v · − → v = −kv
3
. En dérivant l’énergie
cinétique on trouve :
mv
dv
dt
= P − kv
3
.
D’autre part, on peut écrire :
dv
dt
=
dv
dx
dx
dt
=
dv
dx
v. En remplaçant dans la précédente équation,
on trouve l’équation demandée :
mv
2 dv
dx
= P − kv
3
= k
v
3
l − v
3
,
où kv
3
l = P ⇒ v l =
P
k
1
3
est la vitesse limite pour laquelle la puissance motrice P est
compensée par la puissance de freinage des frottements fluides. On peut remarquer que, pour
v = v l ,
dv
dt
= 0 et le mouvement est uniforme.
2. On introduit f (x) = k
v 3
l − v 3
.
a. La dérivée de f (x) par rapport à x donne f (x) = −3kv 2 dv
dx
. L’équation différentielle
précédente devient alors :
−
m
3k
f
(x) = f (x) ⇔ f
(x) +
3k
m
f (x) = 0,
équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant.
b. On pose L =
m
3k
, ce qui donne alors : f (x) = A exp(−x/L). Or à t = 0, x = 0 et v = v 0
soit f (0) = A = k
v 3
l − v 3
0
. On en déduit finalement la vitesse :
v(x) = v l
1 −
1 −
v 0
v l
3
exp
−
x
L
1/3
.
Si v l > v 0 , le cycliste accélère jusqu’à atteindre la vitesse v l . Si v l < v 0 , le cycliste ralenti
jusqu’à atteindre la vitesse v l . Cela confirme bien que v l est la vitesse limite du cycliste. L est
la distance caractéristique nécessaire pour que le cycliste atteigne sa vitesse limite.
c. Avec P = 2 kW et v l = 20 m·s −1 , on trouve k =
P
v 3
l
= 0,25 kg·m −1 . On en déduit L =
m
3k
= 113 m. Il faut quelques L pour atteindre cette vitesse limite de 70 km·h
−1 (de l’ordre de
3 à 5). C’est une distance importante sur laquelle le cycliste ne pourra pas maintenir une telle
puissance. C’est pour cela que des équipiers lui « lance » le sprint en le protégeant de l’air ce
qui diminue le coefficient k.
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