Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
or − → u r · d − → u r = d ( − → u r · −
→ u r ) = d(1) = 0 car − → u r est un vecteur unitaire. On peut ainsi déterminer
E p :
δW = −dE p =
q A q B
4πε 0 r 2 dr ⇒ E p =
q A q B
4πε 0 r
+ constante.
On choisit la référence d’énergie potentielle nulle à l’infini, ce qui fixe la constante à zéro.
q A = q B = p
positions accessibles : [r min ; +∞[
E m
r min
r
E p (r)
q A = −q B = q
positions accessibles : [0; r max ]
E m
r max
r
E p (r)
3. Puisque
− →
f est la seule force à prendre en compte et qu’elle est conservative, l’énergie
mécanique se conserve. En considérant A immobile et q A = q B = q on peut écrire :
E m = E c + E p =
1
2
mv
2
B +
q
2
4πε 0 r
.
Le point B s’approche de A, comme la force est répulsive, sa vitesse diminue puis s’annule,
puis B s’éloigne de A. La distance minimale entre les deux points est obtenue pour v B = 0.
On écrit l’égalité de l’énergie mécanique entre le point de départ (AB = r = a) et le point où
v B = 0 :
1
2
mv
2
0 +
q 2
4πε 0 a
=
q 2
4πε 0 d min
⇒ d min =
1
a
+
2πε 0 mv 2
0
q 2
−1
.
4. Avec q A = −q B = q, l’énergie mécanique s’écrit :
E m = E c + E p =
1
2
mv
2
B −
q 2
4πε 0 r
.
La force est maintenant attractive. Il faut lancer B à l’opposé de A pour qu’elle puisse s’éloigner. La vitesse de B diminue, et la charge ne peut pas accéder aux points plus éloignés que
r max (voir figure ci-dessus). Pour que B puisse atteindre l’infini, il faut que r max soit repoussé
à l’infini. Pour cela, l’énergie mécanique doit être suffisante pour que la trajectoire ne soit
pas bornée et on voit sur le graphe d’énergie potentielle qu’il est nécessaire que l’énergie
mécanique soit positive ou nulle. La vitesse minimale à donner à B correspond à l’énergie cinétique minimale et donc à l’énergie mécanique minimale E m = 0. La conservation de
l’énergie mécanique donne alors :
1
2
mv
2
0 −
q 2
4πε 0 a
= E m (r → ∞) = 0 ⇒ v 0 =
q 2
2πε 0 am
.
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