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16.7 Tige avec ressort ()
On considère une tige fixe, dans un plan vertical xOz,
faisant l’angle α avec l’axe Oz. Un anneau M de masse
m est enfilé sur la tige et astreint à se déplacer sans
frottement le long de celle-ci. Cet anneau est également
relié à un ressort de raideur k et de longueur à vide
v dont l’autre extrémité est fixée en O. On repère la
position de M par OM = X.
O
M
X
z
α
Figure 16.9
1. Quelles sont les forces conservatives appliquées à M ? Déterminer l’expression de leur
énergie potentielle E p en fonction de X et α.
2. Etablir l’équation différentielle du mouvement à l’aide du théorème de l’énergie mécanique.
3. On souhaite étudier graphiquement les différents mouvements possibles.
a. Etudier la fonction E p (X) dans le cas où mg cos(α) < kl v . Tracer son allure.
b. Discuter sur le graphique les mouvement possibles en prenant à t = 0 les conditions initiales suivantes : X = l v et
dX
dt
= V 0 . Préciser la valeur maximale de V 0 pour que le mouvement
se fasse entre deux positions extrêmes X 1 > 0 et X 2 > 0.
c. Déterminer les fonctions V (X) et X(t) dans les conditions de la question précédente.
16.8 Pendule simple modifié d’après ENSTIM 2005 ()
On considère un pendule simple modifié (figure 16.10). Un mobile ponctuel M de masse m,
est accroché à l’extrémité d’un fil inextensible de longueur L et de masse négligeable, dont
l’autre extrémité est fixe en O. On néglige tout frottement. Lorsque θ > 0, le système se
comporte comme un pendule simple de centre O et de longueur de fil L. A la verticale et en
dessous de O, un clou est planté en O avec OO = L/3, qui bloquera la partie haute du fil
vers la gauche.
O
O
O
O
θ 0
θ 2
L
3
2L
3
+
M(m)
− → u r
− →
u θ
clou
Figure 16.10
Quand θ < 0, le système se comporte donc comme un pendule simple de centre O et de
longueur de fil 2L/3. On repère la position du pendule par l’angle θ qu’il fait avec la verticale.
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