Exercices Exercices
CHAPITRE 16 – ASPECTS ÉNERGÉTIQUES DE LA DYNAMIQUE DU POINT
2. Déterminer la vitesse de la personne en bas du toboggan. Comparer la à celle qu’il aurait
s’il n’y avait pas de frottement.
APPROFONDIR
16.5 Cycliste au Tour de France d’après Centrale 2006 ()
Un cycliste assimilé à un point matériel se déplace en ligne droite. Il fournit une puissance
mécanique constante P, les forces de frottement de l’air sont proportionnelles au carré de la
vitesse v du cycliste (
− →
F f = −kv − → v ) où k est une constante positive. On néglige les forces de
frottement du sol sur la roue et on choisit un axe horizontal (Ox) orienté dans la direction du
mouvement du cycliste.
1. En appliquant le théorème de la puissance cinétique, établir une équation différentielle en
v et montrer qu’on peut la mettre sous la forme :
mv
2 dv
dx
= k
v
3
l − v
3
,
où v l est une constante homogène à une vitesse dont on cherchera la signification physique.
2. On pose f (x) = k
v 3
l − v 3
.
a. Déduire des résultats précédent, l’équation différentielle vérifiée par f .
b. Déterminer l’expression de la vitesse en fonction de x, s’il aborde la ligne droite avec
une vitesse v 0 .
c. Application numérique : lors d’un sprint, la puissance développée vaut P = 2 kW et la
vitesse limite v l vaut 20 m·s −1 . Déterminer la valeur de k et en déduire la distance caractéristique pour qu’un coureur de masse m = 85 kg avec son vélo atteigne cette vitesse. Conclure.
16.6 Bille dans une gouttière ICNA 2006 ()
Une bille, assimilée à un point matériel M de masse m, est lâchée sans vitesse initiale depuis
le point A d’une gouttière situé à une hauteur h du point le plus bas O de la gouttière. Cette
dernière est terminée en O par un guide circulaire de rayon a, disposé verticalement. La bille,
dont on suppose que le mouvement a lieu sans frottement, peut éventuellement quitter la
gouttière à l’intérieur du cercle. On note − → g = −g − → u y l’accélération de la pesanteur.
1. Calculer la norme v 0 de la vitesse en O
puis en un point M quelconque du cercle
repéré par l’angle θ .
2. Déterminer la réaction de la gouttière
en un point du guide circulaire.
3. Déterminer la hauteur minimale de A
pour que la bille ait un mouvement révolutif dans le guide.
O
C
M
A
− → e x
− → e y θ
x
y
h
− → g
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CHAPITRE 16 – ASPECTS ÉNERGÉTIQUES DE LA DYNAMIQUE DU POINT
2. Déterminer la vitesse de la personne en bas du toboggan. Comparer la à celle qu’il aurait
s’il n’y avait pas de frottement.
APPROFONDIR
16.5 Cycliste au Tour de France d’après Centrale 2006 ()
Un cycliste assimilé à un point matériel se déplace en ligne droite. Il fournit une puissance
mécanique constante P, les forces de frottement de l’air sont proportionnelles au carré de la
vitesse v du cycliste (
− →
F f = −kv − → v ) où k est une constante positive. On néglige les forces de
frottement du sol sur la roue et on choisit un axe horizontal (Ox) orienté dans la direction du
mouvement du cycliste.
1. En appliquant le théorème de la puissance cinétique, établir une équation différentielle en
v et montrer qu’on peut la mettre sous la forme :
mv
2 dv
dx
= k
v
3
l − v
3
,
où v l est une constante homogène à une vitesse dont on cherchera la signification physique.
2. On pose f (x) = k
v 3
l − v 3
.
a. Déduire des résultats précédent, l’équation différentielle vérifiée par f .
b. Déterminer l’expression de la vitesse en fonction de x, s’il aborde la ligne droite avec
une vitesse v 0 .
c. Application numérique : lors d’un sprint, la puissance développée vaut P = 2 kW et la
vitesse limite v l vaut 20 m·s −1 . Déterminer la valeur de k et en déduire la distance caractéristique pour qu’un coureur de masse m = 85 kg avec son vélo atteigne cette vitesse. Conclure.
16.6 Bille dans une gouttière ICNA 2006 ()
Une bille, assimilée à un point matériel M de masse m, est lâchée sans vitesse initiale depuis
le point A d’une gouttière situé à une hauteur h du point le plus bas O de la gouttière. Cette
dernière est terminée en O par un guide circulaire de rayon a, disposé verticalement. La bille,
dont on suppose que le mouvement a lieu sans frottement, peut éventuellement quitter la
gouttière à l’intérieur du cercle. On note − → g = −g − → u y l’accélération de la pesanteur.
1. Calculer la norme v 0 de la vitesse en O
puis en un point M quelconque du cercle
repéré par l’angle θ .
2. Déterminer la réaction de la gouttière
en un point du guide circulaire.
3. Déterminer la hauteur minimale de A
pour que la bille ait un mouvement révolutif dans le guide.
O
C
M
A
− → e x
− → e y θ
x
y
h
− → g
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