PORTRAITS DE PHASE ET LIEN AVEC LE PROFIL D’ÉNERGIE POTENTIELLE
7.2 Exemple introductif
a) Position du problème
On considère un mobile M de masse m soumis à la seule force conservative
− →
F = F x (x) − → u x qui
dérive de l’énergie potentielle E p (x) tracée sur la figure 16.8. Comme la seule force qui travaille est conservative, le théorème de l’énergie cinétique implique que l’énergie mécanique
E m du système est conservée : E m = E c + E p =
1
2
mv
2
+ E p (x).
En coordonnées cartésiennes − → v = ˙
x − → u x et l’énergie cinétique vaut alors :
E c =
1
2
mv
2
=
1
2
m ˙
x
2
.
Il s’en suit que l’on peut déterminer ˙
x en fonction x à partir de l’expression de l’énergie
potentielle E p (x) et de la valeur de l’énergie mécanique E m grâce à la relation :
˙
x
2
=
2 (E m − E p (x))
m
qui admet deux solutions de signes opposés :
˙
x =
2 (E m − E p (x))
m
> 0
et
˙
x = −
2 (E m − E p (x))
m
< 0.
On peut alors tracer une trajectoire de phase point par point en fixant une valeur pour E m et
en relevant la valeur de E p (x) sur le profil d’énergie potentielle. La fonction « racine carré »
étant une fonction croissante, la norme de la vitesse | ˙
x| est une fonction croissante de l’écart
E m − E p (x).
b) Observation du portrait de phase
On a tracé sur la figure 16.8 un exemple de profil d’énergie potentielle et le portrait de phase
associé. L’énergie potentielle E p (x) est une fonction décroissante puis croissante de x qui
admet un minimum en O. Sa courbe représentative dessine une « cuvette » dont les bords
ont une hauteur E ∞ . Elle forme un puits de potentiel de profondeur E ∞ . L’origine de l’axe
(Ox), ainsi que la référence d’énergie potentielle sont choisies arbitrairement au minimum
d’énergie potentielle. Sur cette courbe d’énergie potentielle, on a fait apparaître trois niveaux
d’énergie mécanique E 1 , E 2 et E 3 et tracé sur le graphe du dessous les trajectoires de phase
associées.
c) Analyse des différents mouvements possibles
Dans tous les cas, on observe que la norme de la vitesse augmente quand le mobile s’approche
du fond du puits puis diminue quand il s’en éloigne. Elle est maximale au fond du puits.
Pour l’énergie mécanique E 1 E ∞ ou E 2 < E ∞ , le mobile est piégé dans le puits de potentiel.
Il est dans un état lié et suit un mouvement périodique. Sa trajectoire de phase est une courbe
fermée décrite dans le sens horaire. Lorsque le mobile passe par le minimum d’énergie potentielle, sa vitesse est maximale. La trajectoire de phase admet alors une tangente horizontale.
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7.2 Exemple introductif
a) Position du problème
On considère un mobile M de masse m soumis à la seule force conservative
− →
F = F x (x) − → u x qui
dérive de l’énergie potentielle E p (x) tracée sur la figure 16.8. Comme la seule force qui travaille est conservative, le théorème de l’énergie cinétique implique que l’énergie mécanique
E m du système est conservée : E m = E c + E p =
1
2
mv
2
+ E p (x).
En coordonnées cartésiennes − → v = ˙
x − → u x et l’énergie cinétique vaut alors :
E c =
1
2
mv
2
=
1
2
m ˙
x
2
.
Il s’en suit que l’on peut déterminer ˙
x en fonction x à partir de l’expression de l’énergie
potentielle E p (x) et de la valeur de l’énergie mécanique E m grâce à la relation :
˙
x
2
=
2 (E m − E p (x))
m
qui admet deux solutions de signes opposés :
˙
x =
2 (E m − E p (x))
m
> 0
et
˙
x = −
2 (E m − E p (x))
m
< 0.
On peut alors tracer une trajectoire de phase point par point en fixant une valeur pour E m et
en relevant la valeur de E p (x) sur le profil d’énergie potentielle. La fonction « racine carré »
étant une fonction croissante, la norme de la vitesse | ˙
x| est une fonction croissante de l’écart
E m − E p (x).
b) Observation du portrait de phase
On a tracé sur la figure 16.8 un exemple de profil d’énergie potentielle et le portrait de phase
associé. L’énergie potentielle E p (x) est une fonction décroissante puis croissante de x qui
admet un minimum en O. Sa courbe représentative dessine une « cuvette » dont les bords
ont une hauteur E ∞ . Elle forme un puits de potentiel de profondeur E ∞ . L’origine de l’axe
(Ox), ainsi que la référence d’énergie potentielle sont choisies arbitrairement au minimum
d’énergie potentielle. Sur cette courbe d’énergie potentielle, on a fait apparaître trois niveaux
d’énergie mécanique E 1 , E 2 et E 3 et tracé sur le graphe du dessous les trajectoires de phase
associées.
c) Analyse des différents mouvements possibles
Dans tous les cas, on observe que la norme de la vitesse augmente quand le mobile s’approche
du fond du puits puis diminue quand il s’en éloigne. Elle est maximale au fond du puits.
Pour l’énergie mécanique E 1 E ∞ ou E 2 < E ∞ , le mobile est piégé dans le puits de potentiel.
Il est dans un état lié et suit un mouvement périodique. Sa trajectoire de phase est une courbe
fermée décrite dans le sens horaire. Lorsque le mobile passe par le minimum d’énergie potentielle, sa vitesse est maximale. La trajectoire de phase admet alors une tangente horizontale.
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