CHAPITRE 16 – ASPECTS ÉNERGÉTIQUES DE LA DYNAMIQUE DU POINT
mobile est donc soumis à une force élémentaire dF x telle que
dF x = −
d 2 E p
dx 2
x=x eq
dx.
Si on exerce un déplacement dx > 0, il faut que dF x < 0 pour ramener le point vers sa position
initiale. Cela impose donc :
d 2 E p
dx 2
x=x eq
> 0.
De même, si on exerce un déplacement dx < 0, il faut que dF x > 0 pour ramener le point vers
sa position initiale et on retrouve le même résultat.
La position d’équilibre x eq est stable si l’énergie potentielle est minimale en x eq . Cela
se traduit généralement par :
d 2 E p
dx 2
x=x eq
> 0.
La position d’équilibre x eq est instable dans les autres cas. Généralement, l’énergie
potentielle est alors maximale en x eq et
d 2 E p
dx 2
x=x eq
< 0.
7 Portraits de phase et lien avec le profil d’énergie potentielle
Dans ce paragraphe, on définit une représentation graphique du mouvement appelée portrait
de phase. On se limite à un système à un degré de liberté mécanique, c’est-à-dire à un système dont l’évolution est décrite par un seul paramètre de position. Pour un tel mouvement,
la notion de trajectoire est souvent de peu d’intérêt car les trajectoires sont des portions de
droites, de cercles, ou de courbes connues à l’avance. Le portrait de phase permet de représenter sur un même graphe la position de M ainsi que sa vitesse et permet une représentation plus
riche. Comme dans le paragraphe précédent, on considère que le mouvement du point matériel M est paramétré par une variable d’espace cartésienne notée x pour simplifier l’analyse,
mais tout est transposable au cas où la coordonnée de M n’est pas cartésienne.
7.1 Définitions
Le plan de phase d’un système à un degré de liberté est le plan (x, ˙
x) où x est la variable de
position de M et ˙
x sa dérivée. À chaque instant, le mobile M est repéré par sa position x et
on peut déterminer sa vitesse ˙
x. On peut le représenter par un point P de coordonnées (x, ˙
x)
du plan de phase. Au cours du mouvement du mobile, la succession des points P trace une
courbe dans le plan de phase appelée trajectoire de phase. On a déjà établi et tracé une trajectoire de phase pour l’oscillateur harmonique, on va généraliser cette notion pour d’autres
mouvements. On peut noter que les conditions initiales du mouvement (x(t = 0), ˙
x(t = 0))
sont représentées par un point P 0 du plan de phase. Le déterminisme implique que chaque
condition initiale donne une unique trajectoire de phase. Le portrait de phase d’un système
est un ensemble de trajectoires de phases associées à différentes conditions initiales.
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mobile est donc soumis à une force élémentaire dF x telle que
dF x = −
d 2 E p
dx 2
x=x eq
dx.
Si on exerce un déplacement dx > 0, il faut que dF x < 0 pour ramener le point vers sa position
initiale. Cela impose donc :
d 2 E p
dx 2
x=x eq
> 0.
De même, si on exerce un déplacement dx < 0, il faut que dF x > 0 pour ramener le point vers
sa position initiale et on retrouve le même résultat.
La position d’équilibre x eq est stable si l’énergie potentielle est minimale en x eq . Cela
se traduit généralement par :
d 2 E p
dx 2
x=x eq
> 0.
La position d’équilibre x eq est instable dans les autres cas. Généralement, l’énergie
potentielle est alors maximale en x eq et
d 2 E p
dx 2
x=x eq
< 0.
7 Portraits de phase et lien avec le profil d’énergie potentielle
Dans ce paragraphe, on définit une représentation graphique du mouvement appelée portrait
de phase. On se limite à un système à un degré de liberté mécanique, c’est-à-dire à un système dont l’évolution est décrite par un seul paramètre de position. Pour un tel mouvement,
la notion de trajectoire est souvent de peu d’intérêt car les trajectoires sont des portions de
droites, de cercles, ou de courbes connues à l’avance. Le portrait de phase permet de représenter sur un même graphe la position de M ainsi que sa vitesse et permet une représentation plus
riche. Comme dans le paragraphe précédent, on considère que le mouvement du point matériel M est paramétré par une variable d’espace cartésienne notée x pour simplifier l’analyse,
mais tout est transposable au cas où la coordonnée de M n’est pas cartésienne.
7.1 Définitions
Le plan de phase d’un système à un degré de liberté est le plan (x, ˙
x) où x est la variable de
position de M et ˙
x sa dérivée. À chaque instant, le mobile M est repéré par sa position x et
on peut déterminer sa vitesse ˙
x. On peut le représenter par un point P de coordonnées (x, ˙
x)
du plan de phase. Au cours du mouvement du mobile, la succession des points P trace une
courbe dans le plan de phase appelée trajectoire de phase. On a déjà établi et tracé une trajectoire de phase pour l’oscillateur harmonique, on va généraliser cette notion pour d’autres
mouvements. On peut noter que les conditions initiales du mouvement (x(t = 0), ˙
x(t = 0))
sont représentées par un point P 0 du plan de phase. Le déterminisme implique que chaque
condition initiale donne une unique trajectoire de phase. Le portrait de phase d’un système
est un ensemble de trajectoires de phases associées à différentes conditions initiales.
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