ÉTUDE QUALITATIVE DES MOUVEMENTS ET DES ÉQUILIBRES
x
x eq 1
x eq 2
x eq 2
E p
+
+
−
−
Signe de dE p /dx
Sens de
− →
F
Stabilité
de l’équilibre
Stable
Stable Instable
Figure 16.7 – Sens de la force
− →
F en fonction des variations de l’énergie potentielle
E p .
Une position d’équilibre correspond à un extremum d’énergie potentielle. Son abscisse
x eq vérifie l’équation :
dE p
dx
x=x eq
= 0.
d) Étude énergétique de la stabilité des équilibres
Pour analyser la stabilité de la position d’équilibre d’abscisse x eq , il faut déterminer si, au
voisinage de x eq , la résultante des forces est dirigée vers x eq ou non.
On se place alors au voisinage de x eq en un point d’abscisse x = x eq + dx. La force
− →
F est
dirigée vers les énergies potentielles décroissante donc :
• si x eq est un minimum d’énergie potentielle,
− →
F tend à ramener le mobile vers x eq qui est
donc une position d’équilibre stable (positions x eq1 et x eq3 de la figure 16.7),
• si x eq est un maximum d’énergie potentielle,
− →
F tend à éloigner le mobile de x eq qui est
donc une position d’équilibre instable (positions x eq2 de la figure 16.7).
Lorsque la fonction E p est deux fois dérivable et que sa dérivée seconde ne s’annule pas en
x eq , on peut exprimer la force
− →
F au voisinage de x eq . Pour cela, on utilise un développement
de Taylor (voir appendice mathématique) de la fonction F x (x) :
F x (x eq + dx) = F x (x eq ) +
dF x
dx
x=x eq
dx =
dF x
dx
x=x eq
dx = dF x ,
puisque x eq est une position d’équilibre donc F x (x eq ) = 0.
Par ailleurs, F x (x) = −
dE p
dx
donc
dF x
dx
x=x eq
= −
d 2 E p
dx 2
x=x eq
. Au voisinage de x eq , le
595