CHAPITRE 16 – ASPECTS ÉNERGÉTIQUES DE LA DYNAMIQUE DU POINT
En une position d’équilibre, la somme des forces qui s’appliquent au mobile est nulle :
∑
i
− →
f i =
− →
0 .
Le mobile peut rester indéfiniment en une position d’équilibre.
Quand on écarte le mobile de sa position d’équilibre,
• s’il revient vers sa position d’équilibre initiale, la position d’équilibre est stable ;
• s’il s’éloigne définitivement de sa position d’équilibre initiale, la position d’équilibre
est instable.
Pour qu’une position d’équilibre soit stable, il est donc nécessaire que, au voisinage de cette
position d’équilibre, la résultante des forces soit dirigée vers cette dernière.
b) Lien entre la force et l’énergie potentielle
Lorsqu’on considère uniquement la force
− →
F = F x (x) − → u x qui dérive de l’énergie potentielle
E p (x), le travail s’écrit :
δW =
− →
F · d
− − →
OM = F x (x) − → u x · d
− − →
OM = F x (x)dx = −dE p
puis la force :
F x (x) = −
dE p
dx
.
Cette relation explique pourquoi l’on dit que la force
− →
F dérive d’une énergie potentielle.
Cette relation montre également que :
• aux endroits où E p est croissante, sa dérivée par rapport à x est positive et la force est
dirigée vers les x décroissants et donc vers les énergies potentielles décroissantes,
• aux endroits où E p est décroissante, sa dérivée par rapport à x est négative et la force est
dirigée vers les x croissants et donc vers les énergies potentielles décroissantes,
• aux endroits où E p admet une tangente horizontale, sa dérivée par rapport à x est nulle et
la force également.
Ceci est illustré sur la figure 16.7.
Si la force
− →
F = F x (x) − → u x dérive de l’énergie potentielle E p (x) alors :
− →
F = −
dE p
dx
−
→ u x .
En un point d’abscisse x, la force
− →
F est dirigée dans le sens des énergies potentielles
décroissantes donc vers le minimum d’énergie potentielle le plus proche.
c) Détermination énergétique des positions d’équilibre
Pour déterminer les positions pour lesquelles le point matériel est à l’équilibre, il faut chercher les positions où la force
− →
F s’annule. Cela implique que la dérivée de la fonction E p (x)
s’annule et donc que la courbe représentative de E p (x) admet une tangente horizontale.
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En une position d’équilibre, la somme des forces qui s’appliquent au mobile est nulle :
∑
i
− →
f i =
− →
0 .
Le mobile peut rester indéfiniment en une position d’équilibre.
Quand on écarte le mobile de sa position d’équilibre,
• s’il revient vers sa position d’équilibre initiale, la position d’équilibre est stable ;
• s’il s’éloigne définitivement de sa position d’équilibre initiale, la position d’équilibre
est instable.
Pour qu’une position d’équilibre soit stable, il est donc nécessaire que, au voisinage de cette
position d’équilibre, la résultante des forces soit dirigée vers cette dernière.
b) Lien entre la force et l’énergie potentielle
Lorsqu’on considère uniquement la force
− →
F = F x (x) − → u x qui dérive de l’énergie potentielle
E p (x), le travail s’écrit :
δW =
− →
F · d
− − →
OM = F x (x) − → u x · d
− − →
OM = F x (x)dx = −dE p
puis la force :
F x (x) = −
dE p
dx
.
Cette relation explique pourquoi l’on dit que la force
− →
F dérive d’une énergie potentielle.
Cette relation montre également que :
• aux endroits où E p est croissante, sa dérivée par rapport à x est positive et la force est
dirigée vers les x décroissants et donc vers les énergies potentielles décroissantes,
• aux endroits où E p est décroissante, sa dérivée par rapport à x est négative et la force est
dirigée vers les x croissants et donc vers les énergies potentielles décroissantes,
• aux endroits où E p admet une tangente horizontale, sa dérivée par rapport à x est nulle et
la force également.
Ceci est illustré sur la figure 16.7.
Si la force
− →
F = F x (x) − → u x dérive de l’énergie potentielle E p (x) alors :
− →
F = −
dE p
dx
−
→ u x .
En un point d’abscisse x, la force
− →
F est dirigée dans le sens des énergies potentielles
décroissantes donc vers le minimum d’énergie potentielle le plus proche.
c) Détermination énergétique des positions d’équilibre
Pour déterminer les positions pour lesquelles le point matériel est à l’équilibre, il faut chercher les positions où la force
− →
F s’annule. Cela implique que la dérivée de la fonction E p (x)
s’annule et donc que la courbe représentative de E p (x) admet une tangente horizontale.
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