ÉTUDE QUALITATIVE DES MOUVEMENTS ET DES ÉQUILIBRES
6 Étude qualitative des mouvements et des équilibres
6.1 Exemple introductif
On considère un jeu dans lequel une perle est enfilée sur une tige rigide formant des puits et
des bosses (figure 16.4). Le profil d’altitude de la tige est noté h(x) et la pesanteur dérive de
l’énergie potentielle E p = mg · altitude = mgh(x). La courbe d’altitude h(x) est, à un facteur
d’échelle près, identique à la courbe d’énergie potentielle de pesanteur. Tous ceux qui ont
joué à ce jeu savent que :
• si on lâche la perle sans vitesse initiale, elle glisse spontanément vers le fond du puits le
plus proche ;
• les positions où la perle peut rester en équilibre sont les sommets des bosses (positions
instables) et les fonds des puits (positions stables) ;
• pour pouvoir sortir la perle d’un puits, il faut lui procurer une vitesse (une énergie cinétique) de norme suffisante pour pouvoir gravir la bosse d’à côté sur son élan.
Dans ce paragraphe, on va modéliser, expliquer et généraliser ces observations.
x
h(x)
Figure 16.4 – Jeu constitué d’une perle enfilée sur une tige rigide. Le profil d’altitude
h(x) coïncide, à un facteur d’échelle près, au profil d’énergie potentielle.
6.2 Position du problème
Pour simplifier l’analyse, on considère que le point matériel M de masse m n’est soumis qu’à
une force conservative notée
− →
F qui dérive de l’énergie potentielle E p . On suppose que le
problème est paramétré par une variable d’espace cartésienne notée x. La force
− →
F est alors
de la forme
− →
F = F x (x) − → u x et l’énergie potentielle une fonction de la variable x : E p (x).
D’après le théorème de l’énergie cinétique, l’énergie mécanique se conserve soit :
E c + E p = E m = constante.
Par ailleurs, l’énergie cinétique est une quantité positive : E c =
1
2
mv
2
= E m − E p ≥ 0, ce qui
entraîne que l’énergie mécanique est supérieure ou égale à l’énergie potentielle :
E m ≥ E p .
591
6 Étude qualitative des mouvements et des équilibres
6.1 Exemple introductif
On considère un jeu dans lequel une perle est enfilée sur une tige rigide formant des puits et
des bosses (figure 16.4). Le profil d’altitude de la tige est noté h(x) et la pesanteur dérive de
l’énergie potentielle E p = mg · altitude = mgh(x). La courbe d’altitude h(x) est, à un facteur
d’échelle près, identique à la courbe d’énergie potentielle de pesanteur. Tous ceux qui ont
joué à ce jeu savent que :
• si on lâche la perle sans vitesse initiale, elle glisse spontanément vers le fond du puits le
plus proche ;
• les positions où la perle peut rester en équilibre sont les sommets des bosses (positions
instables) et les fonds des puits (positions stables) ;
• pour pouvoir sortir la perle d’un puits, il faut lui procurer une vitesse (une énergie cinétique) de norme suffisante pour pouvoir gravir la bosse d’à côté sur son élan.
Dans ce paragraphe, on va modéliser, expliquer et généraliser ces observations.
x
h(x)
Figure 16.4 – Jeu constitué d’une perle enfilée sur une tige rigide. Le profil d’altitude
h(x) coïncide, à un facteur d’échelle près, au profil d’énergie potentielle.
6.2 Position du problème
Pour simplifier l’analyse, on considère que le point matériel M de masse m n’est soumis qu’à
une force conservative notée
− →
F qui dérive de l’énergie potentielle E p . On suppose que le
problème est paramétré par une variable d’espace cartésienne notée x. La force
− →
F est alors
de la forme
− →
F = F x (x) − → u x et l’énergie potentielle une fonction de la variable x : E p (x).
D’après le théorème de l’énergie cinétique, l’énergie mécanique se conserve soit :
E c + E p = E m = constante.
Par ailleurs, l’énergie cinétique est une quantité positive : E c =
1
2
mv
2
= E m − E p ≥ 0, ce qui
entraîne que l’énergie mécanique est supérieure ou égale à l’énergie potentielle :
E m ≥ E p .
591