ÉNERGIE POTENTIELLE ET FORCES CONSERVATIVES
E p = −
G mm p
r
.
Remarque
Pour établir cette relation, on peut également remarquer que l’expression de la force
− →
F P→M = −G
mm p
r 2
− → u r suppose de travailler en coordonnées sphériques d’origine P. Or,
le déplacement infinitésimal radial en sphérique vaut dr d’où − → u r · d
−→
PM = dr.
c) Force de rappel d’un élastique d’un ressort
Un ressort de raideur k ayant subi un allongement Δl = l − l 0 exerce une force de rappel
élastique dans la direction de l’allongement :
− →
f = −kΔl − → u ext .
où le vecteur unitaire − → u ext est dirigé du ressort vers le système. Lors d’un déplacement infinitésimal d
− − →
OM du point M, le travail élémentaire de la force de rappel élastique vaut :
δW =
− →
f · d
− − →
OM = −k (l − l 0 ) −
→ u ext · d
− − →
OM.
Le produit scalaire − → u ext ·d
− − →
OM est la projection du déplacement infinitésimal dans la direction
du ressort et conduit à un variation de la longueur du ressort de dl. On en déduit le travail
élémentaire :
δW = −k (l − l 0 ) dl = −dE p
puis
E p =
1
2
k (l − l 0 )
2 + C
où C est une constante.
On prend généralement comme référence des énergies potentielles E p = 0 lorsque le ressort
est à sa longueur à vide donc que l = l 0 . Cela revient à choisir C = 0 et on obtient alors
l’expression l’énergie potentielle élastique dont dérive la force de rappel du ressort :
E p =
1
2
k (l − l 0 )
2 .
d) Force électrique
Force coulombienne exercée par une charge ponctuelle On considère un point matériel
M de charge q soumis à la force coulombienne exercée par une charge q p placée en P. M est
soumis à la force coulombienne :
− →
F P→M =
1
4πε 0
qq p
r 2
− → u r ,
587
E p = −
G mm p
r
.
Remarque
Pour établir cette relation, on peut également remarquer que l’expression de la force
− →
F P→M = −G
mm p
r 2
− → u r suppose de travailler en coordonnées sphériques d’origine P. Or,
le déplacement infinitésimal radial en sphérique vaut dr d’où − → u r · d
−→
PM = dr.
c) Force de rappel d’un élastique d’un ressort
Un ressort de raideur k ayant subi un allongement Δl = l − l 0 exerce une force de rappel
élastique dans la direction de l’allongement :
− →
f = −kΔl − → u ext .
où le vecteur unitaire − → u ext est dirigé du ressort vers le système. Lors d’un déplacement infinitésimal d
− − →
OM du point M, le travail élémentaire de la force de rappel élastique vaut :
δW =
− →
f · d
− − →
OM = −k (l − l 0 ) −
→ u ext · d
− − →
OM.
Le produit scalaire − → u ext ·d
− − →
OM est la projection du déplacement infinitésimal dans la direction
du ressort et conduit à un variation de la longueur du ressort de dl. On en déduit le travail
élémentaire :
δW = −k (l − l 0 ) dl = −dE p
puis
E p =
1
2
k (l − l 0 )
2 + C
où C est une constante.
On prend généralement comme référence des énergies potentielles E p = 0 lorsque le ressort
est à sa longueur à vide donc que l = l 0 . Cela revient à choisir C = 0 et on obtient alors
l’expression l’énergie potentielle élastique dont dérive la force de rappel du ressort :
E p =
1
2
k (l − l 0 )
2 .
d) Force électrique
Force coulombienne exercée par une charge ponctuelle On considère un point matériel
M de charge q soumis à la force coulombienne exercée par une charge q p placée en P. M est
soumis à la force coulombienne :
− →
F P→M =
1
4πε 0
qq p
r 2
− → u r ,
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