CHAPITRE 16 – ASPECTS ÉNERGÉTIQUES DE LA DYNAMIQUE DU POINT
4.2 Exemples de forces conservatives
a) Poids d’un corps
Le poids d’un point matériel de masse m dans le champ de pesanteur − → g vaut : m − → g , soit en
projection dans un système de coordonnées cartésiennes dont l’axe (Oz) est vertical et dirigé
vers le haut : −mg − → u z . Le travail de cette force s’écrit donc :
δW = m − → g · d
− − →
OM = (−mg − → u z ) · d
− − →
OM = −mg( − → u z · d
− − →
OM).
Or − → u z · d
− − →
OM est la composante du déplacement infinitésimal selon −
→ u z donc − → u z · d
− − →
OM = dz.
On en déduit :
δW = −mgdz = −d (mgz) = −dE p
puis
E p = mgz + C
où C est une constante d’intégration que l’on peut choisir de manière arbitraire.
Dans cette expression, l’axe (Oz) est dirigé selon la verticale ascendante. Il s’agit donc d’un
axe des altitudes, et l’énergie potentielle augmente lorsque l’altitude augmente. On peut alors
retenir la formule ci-dessus sous la forme :
E p = mg · altitude.
Le choix arbitraire de l’altitude 0, c’est-à-dire de la référence des altitudes, correspond au
choix arbitraire de la constante C.
b) Force gravitationnelle exercée par un astre ponctuel
On considère un point matériel M de masse m soumis à la force gravitationnelle exercée par
un astre de centre P et de masse m p . M est soumis à la force gravitationnelle :
− →
F P→M = −G
mm p
r 2
− → u r ,
où r =
−→
PM et −
→ u r =
−→
PM
r
. Le travail élémentaire de cette force s’écrit :
δW =
− →
F P→M · d
−→
PM = −G
mm p
r 2
− → u r · d
−→
PM = −G
mm p
r 2
−→
PM
r
· d
− →
PM
.
Or
−→
PM · d
− →
PM = d
−→
PM 2
2
= d
r 2
2
= rdr donc
δW = −G
mm p
r 2 dr = G mm p
−
dr
r 2
= G mm p d
1
r
= d
G mm p
r
= −dE p .
On en déduit l’énergie potentielle associée : E p = −
G mm p
r
+ C, où C est une constante. On
prend généralement comme référence des énergies potentielles E p → 0 lorsque r → ∞, ce qui
revient à choisir C = 0 et on obtient :
586