CHAPITRE 16 – ASPECTS ÉNERGÉTIQUES DE LA DYNAMIQUE DU POINT
b) Mise en équation et résolution du problème en l’absence de frottement
• Système : on modélise le skieur par un point matériel M de masse m.
• Référentiel : on étudie le mouvement de M dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
• Bilan des forces : le skieur est soumis à :
◦ son poids
− →
P = m − → g ;
◦ la force de contact normale de la neige sur ses skis
− →
R qui assure son mouvement le long
de la piste ;
◦ des forces de frottements solides (sous les skis) et fluides (résistance de l’air) de résultante
− →
f opposée au mouvement que l’on néglige car les conditions de glisse sont
idéales.
• Méthode de résolution : on utilise le théorème de l’énergie cinétique.
On applique le théorème de l’énergie cinétique entre le point A et le point B :
E c (B) − E c (A) = W A→B (
− →
R ) +W A→B (
− →
P )
(16.1)
et on détermine les deux membres de cette égalité.
Le sauteur part de A avec une vitesse − → v A =
− →
0 . Il atteint le point B avec une vitesse − → v B de
norme v B . La variation d’énergie cinétique entre A et B vaut donc :
ΔE c = E c (B) − E c (A) =
1
2
mv
2
B −
1
2
mv
2
A =
1
2
mv
2
B .
Le travail de la force de contact est nul puisqu’elle est en permanence perpendiculaire au
mouvement ce qui implique que :
P(
− →
R ) =
−
→
R · −
→ v = 0
puis
W A→B (
− →
R ) = 0.
Il ne reste qu’à calculer le travail du poids entre le point A et le point B. Pour cela, on définit
l’axe (Oz) vertical ascendant de sorte que
− →
P = −mg − → u z et on trouve alors :
δW (
− →
P ) = −mg − → u z · d
− − →
OM = −mgdz,
puis :
W A→B (
− →
P ) =
ˆ z B
z A
−mgdz = −mg
z
z B
z A
= −mg(z B − z A ) = mg(z A − z B ) = mgh.
Le travail du poids est positif : c’est le moteur du mouvement du skieur vers le bas. En
injectant les relations précédentes dans l’équation (16.1), on obtient alors :
1
2
mv
2
B = mgh
puis
v B =
2gh.
Numériquement, v B =
√
2 × 10 × 50 = 32 m·s −1 qui est supérieure à la vitesse limite de sécurité de 30 m·s −1 . Le tremplin n’est pas sûr par conditions idéales de glisse.
584
b) Mise en équation et résolution du problème en l’absence de frottement
• Système : on modélise le skieur par un point matériel M de masse m.
• Référentiel : on étudie le mouvement de M dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
• Bilan des forces : le skieur est soumis à :
◦ son poids
− →
P = m − → g ;
◦ la force de contact normale de la neige sur ses skis
− →
R qui assure son mouvement le long
de la piste ;
◦ des forces de frottements solides (sous les skis) et fluides (résistance de l’air) de résultante
− →
f opposée au mouvement que l’on néglige car les conditions de glisse sont
idéales.
• Méthode de résolution : on utilise le théorème de l’énergie cinétique.
On applique le théorème de l’énergie cinétique entre le point A et le point B :
E c (B) − E c (A) = W A→B (
− →
R ) +W A→B (
− →
P )
(16.1)
et on détermine les deux membres de cette égalité.
Le sauteur part de A avec une vitesse − → v A =
− →
0 . Il atteint le point B avec une vitesse − → v B de
norme v B . La variation d’énergie cinétique entre A et B vaut donc :
ΔE c = E c (B) − E c (A) =
1
2
mv
2
B −
1
2
mv
2
A =
1
2
mv
2
B .
Le travail de la force de contact est nul puisqu’elle est en permanence perpendiculaire au
mouvement ce qui implique que :
P(
− →
R ) =
−
→
R · −
→ v = 0
puis
W A→B (
− →
R ) = 0.
Il ne reste qu’à calculer le travail du poids entre le point A et le point B. Pour cela, on définit
l’axe (Oz) vertical ascendant de sorte que
− →
P = −mg − → u z et on trouve alors :
δW (
− →
P ) = −mg − → u z · d
− − →
OM = −mgdz,
puis :
W A→B (
− →
P ) =
ˆ z B
z A
−mgdz = −mg
z
z B
z A
= −mg(z B − z A ) = mg(z A − z B ) = mgh.
Le travail du poids est positif : c’est le moteur du mouvement du skieur vers le bas. En
injectant les relations précédentes dans l’équation (16.1), on obtient alors :
1
2
mv
2
B = mgh
puis
v B =
2gh.
Numériquement, v B =
√
2 × 10 × 50 = 32 m·s −1 qui est supérieure à la vitesse limite de sécurité de 30 m·s −1 . Le tremplin n’est pas sûr par conditions idéales de glisse.
584