CHAPITRE 16 – ASPECTS ÉNERGÉTIQUES DE LA DYNAMIQUE DU POINT
2 Premiers exemples de calculs de travaux
2.1 Travail d’une force constamment perpendiculaire au mouvement
On considère une force
− →
f qui reste en permanence perpendiculaire au mouvement. Parmi
les forces vues au chapitre précédent, la force magnétique d’expression
− →
f = q − → v ∧
− →
B rentre
dans cette catégorie ; les forces de contact normales au support également lorsque le support
est fixe dans le référentiel d’étude.
La force
− →
f reste toujours perpendiculaire au mouvement. Dans ces conditions, sa puissance
est nulle à chaque instant : P(
− →
f ) =
− →
f · −
→ v = 0. Son travail l’est également :
δW (
− →
f ) = Pdt = 0 =⇒ W A→B (
− →
f ) = 0.
2.2 Travail d’une force constante
On considère une force
− →
f 0 constante. Parmi les forces vues au chapitre précédent, le poids
rentre dans cette catégorie et alors
− →
f 0 = m − → g ; la force électrique également, à condition que
le champ électrique
− →
E soit uniforme, et alors
− →
f 0 = q
− →
E .
On peut poser f 0 =
− →
f 0 et définir un axe (Oz) tel que − → u z =
− →
f 0
f 0
. En notant z la coordonnée
de M sur l’axe (Oz), la puissance de
− →
f 0 s’écrit : P(
− →
f 0 ) =
− →
f 0 · −
→ v = f 0
− → u z · −
→ v = f 0 ˙
z.
On en déduit que son travail infinitésimal vaut : δW (
− →
f 0 ) = P(
− →
f 0 )dt = f 0 ˙
zdt = f 0 dz.
En notant z A et z B les coordonnées de A et B sur l’axe (Oz), on obtient alors :
W A→B (
− →
f 0 ) =
ˆ
M∈
AB
f 0 dz = f 0
dz
z B
z A
= f 0 (z B − z A ) .
Dans ce cas, le travail infinitésimal est la dérivée d’une fonction : δW (
− →
f 0 ) = d ( f 0 z) , et le
travail sur une trajectoire partant de A et revenant en A est nul : W A→A (
− →
f 0 ) = f 0 (z A − z A ) = 0.
Une telle force est une force conservative.
2.3 Travail d’une force de frottement de norme constante
On considère maintenant une force de frottement
− →
f dont seule la norme f est constante.
La force de frottement
− →
f étant opposée à la vitesse, sa puissance est toujours négative et
s’exprime ainsi : P(
− →
f ) =
− →
f · −
→ v = − f − → v < 0. Son travail infinitésimal s’écrit :
δW (
− →
f ) = − f − → v dt = − f − → v dt = − f dl
où dl est la longueur du déplacement infinitésimal. On en déduit :
W A→B (
− →
f ) = − f l
AB
où l
AB
est la longueur du trajet
AB.
Dans ce cas, le travail infinitésimal ne s’écrit pas comme une différentielle. Le travail sur une
trajectoire fermée partant de A et revenant en A est strictement négatif. Une telle force est une
force dissipative.
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2 Premiers exemples de calculs de travaux
2.1 Travail d’une force constamment perpendiculaire au mouvement
On considère une force
− →
f qui reste en permanence perpendiculaire au mouvement. Parmi
les forces vues au chapitre précédent, la force magnétique d’expression
− →
f = q − → v ∧
− →
B rentre
dans cette catégorie ; les forces de contact normales au support également lorsque le support
est fixe dans le référentiel d’étude.
La force
− →
f reste toujours perpendiculaire au mouvement. Dans ces conditions, sa puissance
est nulle à chaque instant : P(
− →
f ) =
− →
f · −
→ v = 0. Son travail l’est également :
δW (
− →
f ) = Pdt = 0 =⇒ W A→B (
− →
f ) = 0.
2.2 Travail d’une force constante
On considère une force
− →
f 0 constante. Parmi les forces vues au chapitre précédent, le poids
rentre dans cette catégorie et alors
− →
f 0 = m − → g ; la force électrique également, à condition que
le champ électrique
− →
E soit uniforme, et alors
− →
f 0 = q
− →
E .
On peut poser f 0 =
− →
f 0 et définir un axe (Oz) tel que − → u z =
− →
f 0
f 0
. En notant z la coordonnée
de M sur l’axe (Oz), la puissance de
− →
f 0 s’écrit : P(
− →
f 0 ) =
− →
f 0 · −
→ v = f 0
− → u z · −
→ v = f 0 ˙
z.
On en déduit que son travail infinitésimal vaut : δW (
− →
f 0 ) = P(
− →
f 0 )dt = f 0 ˙
zdt = f 0 dz.
En notant z A et z B les coordonnées de A et B sur l’axe (Oz), on obtient alors :
W A→B (
− →
f 0 ) =
ˆ
M∈
AB
f 0 dz = f 0
dz
z B
z A
= f 0 (z B − z A ) .
Dans ce cas, le travail infinitésimal est la dérivée d’une fonction : δW (
− →
f 0 ) = d ( f 0 z) , et le
travail sur une trajectoire partant de A et revenant en A est nul : W A→A (
− →
f 0 ) = f 0 (z A − z A ) = 0.
Une telle force est une force conservative.
2.3 Travail d’une force de frottement de norme constante
On considère maintenant une force de frottement
− →
f dont seule la norme f est constante.
La force de frottement
− →
f étant opposée à la vitesse, sa puissance est toujours négative et
s’exprime ainsi : P(
− →
f ) =
− →
f · −
→ v = − f − → v < 0. Son travail infinitésimal s’écrit :
δW (
− →
f ) = − f − → v dt = − f − → v dt = − f dl
où dl est la longueur du déplacement infinitésimal. On en déduit :
W A→B (
− →
f ) = − f l
AB
où l
AB
est la longueur du trajet
AB.
Dans ce cas, le travail infinitésimal ne s’écrit pas comme une différentielle. Le travail sur une
trajectoire fermée partant de A et revenant en A est strictement négatif. Une telle force est une
force dissipative.
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