TRAVAIL ET PUISSANCE D’UNE FORCE
1.3 Travail élémentaire d’une force
Le travail élémentaire d’une force
− →
f de puissance P(
− →
f ) appliquée en un point M
pendant un intervalle de temps dt est la quantité :
δW (
− →
f ) = P(
− →
f )dt.
Tout comme la puissance, le travail est une grandeur additive et dépend du référentiel d’étude.
À partir de cette définition, on peut reformuler l’expression du travail élémentaire en introduisant le déplacement infinitésimal d
− − →
OM :
δW (
− →
f ) = P(
− →
f )dt =
−
→
f · −
→ v dt =
− →
f · d
− − →
OM.
L’écriture δW (
− →
f ) = P(
− →
f )dt est utilisée avec la variable temporelle alors que l’écriture
δW (
− →
f ) =
− →
f · d
− − →
OM est utilisée avec les variables d’espace.
Le travail caractérise un échange d’énergie du système avec l’extérieur par l’intermédiaire de
la force
− →
f . C’est une grandeur d’échange qui n’existe ni à l’instant t ni à l’instant t + dt mais
seulement au cours du déplacement entre t et t + dt.
Remarque
Le travail infinitésimal δW est noté avec un δ et pas un d. La notation d est réservée aux
différentielles définies comme des variations d’une fonction entre des points infiniment
proches. Par exemple, on note d
− − →
OM =
− − →
OM(t + dt) −
− − →
OM(t). Le travail n’est pas défini
aux instants t et t + dt, on ne peut donc pas le définir comme une différentielle. Pour
s’en souvenir, on note généralement δ mais certains auteurs barrent le d et notent ¯
d.
Dans tous les cas, il faut proscrire le d.
1.4 Travail d’une force au cours d’un déplacement
Au cours d’un déplacement le long d’une trajectoire
AB allant de A vers B, au cours duquel
le mobile M quitte A à l’instant t A et arrive en B à l’instant t B > t A , le travail de la force
− →
f
correspond à la somme des travaux élémentaires calculés sur la trajectoire
AB :
W A→B (
− →
f ) =
ˆ
M∈
AB
δW (
− →
f ).
La notation
ˆ
M∈
AB
indique que le travail doit être calculé par une intégrale curviligne en
suivant la trajectoire amenant le mobile de A vers B. Le travail dépend de la force
− →
f et de la
manière dont on réalise le déplacement entre A et B. Le travail dépend du chemin suivi.
Avec la variable temporelle, δW (
− →
f ) = P(t)dt puis W A→B (
− →
f ) =
ˆ t B
t A
P(t)dt.
Avec les variables d’espace, δW (
− →
f ) =
−
→
f · d
− − →
OM puis W A→B (
− →
f ) =
ˆ
M∈
AB
− →
f · d
− − →
OM.
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1.3 Travail élémentaire d’une force
Le travail élémentaire d’une force
− →
f de puissance P(
− →
f ) appliquée en un point M
pendant un intervalle de temps dt est la quantité :
δW (
− →
f ) = P(
− →
f )dt.
Tout comme la puissance, le travail est une grandeur additive et dépend du référentiel d’étude.
À partir de cette définition, on peut reformuler l’expression du travail élémentaire en introduisant le déplacement infinitésimal d
− − →
OM :
δW (
− →
f ) = P(
− →
f )dt =
−
→
f · −
→ v dt =
− →
f · d
− − →
OM.
L’écriture δW (
− →
f ) = P(
− →
f )dt est utilisée avec la variable temporelle alors que l’écriture
δW (
− →
f ) =
− →
f · d
− − →
OM est utilisée avec les variables d’espace.
Le travail caractérise un échange d’énergie du système avec l’extérieur par l’intermédiaire de
la force
− →
f . C’est une grandeur d’échange qui n’existe ni à l’instant t ni à l’instant t + dt mais
seulement au cours du déplacement entre t et t + dt.
Remarque
Le travail infinitésimal δW est noté avec un δ et pas un d. La notation d est réservée aux
différentielles définies comme des variations d’une fonction entre des points infiniment
proches. Par exemple, on note d
− − →
OM =
− − →
OM(t + dt) −
− − →
OM(t). Le travail n’est pas défini
aux instants t et t + dt, on ne peut donc pas le définir comme une différentielle. Pour
s’en souvenir, on note généralement δ mais certains auteurs barrent le d et notent ¯
d.
Dans tous les cas, il faut proscrire le d.
1.4 Travail d’une force au cours d’un déplacement
Au cours d’un déplacement le long d’une trajectoire
AB allant de A vers B, au cours duquel
le mobile M quitte A à l’instant t A et arrive en B à l’instant t B > t A , le travail de la force
− →
f
correspond à la somme des travaux élémentaires calculés sur la trajectoire
AB :
W A→B (
− →
f ) =
ˆ
M∈
AB
δW (
− →
f ).
La notation
ˆ
M∈
AB
indique que le travail doit être calculé par une intégrale curviligne en
suivant la trajectoire amenant le mobile de A vers B. Le travail dépend de la force
− →
f et de la
manière dont on réalise le déplacement entre A et B. Le travail dépend du chemin suivi.
Avec la variable temporelle, δW (
− →
f ) = P(t)dt puis W A→B (
− →
f ) =
ˆ t B
t A
P(t)dt.
Avec les variables d’espace, δW (
− →
f ) =
−
→
f · d
− − →
OM puis W A→B (
− →
f ) =
ˆ
M∈
AB
− →
f · d
− − →
OM.
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