Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 15 – PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
La vitesse limite est obtenue pour t → ∞. On trouve une vitesse limite verticale d’expression
semblable à celle calculée précédemment. On peut mettre z sous une forme semblable à celle
de la question précédente en remplaçant v e par v 0 sin α.
c. Toute les expressions obtenues pour le saut, sont applicables dans le cas du plongeon
en remplaçant v e par v 0 sin α. Avec les nouvelles valeurs de k et donc de τ = 0,64 s et de
v L = −0,71 m·s −1 , la vitesse s’annule donc à l’instant :
t 3 = τ ln
1 +
v 0 sin α
|v L |
= 1,52 s
et à la profondeur :
z(t 3 ) = τ(v 0 sin α + |v L |)
1 − exp
−
t 3
τ
− |v L |t 3 = 3,35 m.
Le plongeur n’atteint donc pas le fond.
15.10 Etude d’un skieur
1. On étudie le mouvement du skieur assimilé à son centre de gravité dans le référentiel lié
au sol galiléen. Les forces qui s’appliquent au skieur sont :
• le poids m − → g ;
• la réaction tangentielle
− →
T ;
• la réaction normale du support
− →
N ;
• la force de frottement
− →
F .
x
y
O
α
− →
N
m − → g
− →
T
− →
F
Figure 15.26
La relation fondamentale de la dynamique donne : m − → a = m − → g +
− →
F +
− →
T +
− →
N , soit en projection :
m ¨
x = −T − λ ˙
x + mg sinα et m ¨
y = 0 = N − mg cosα
On en déduit N = mg cosα et donc T = f N = f mgcos α.
2. On reporte l’expression de T dans l’autre équation en posant τ = m/λ et on intègre :
¨
x +
˙
x
τ
= g(sin α − f cos α) ⇒ ˙
x = A exp
−
t
τ
+ τg(sin α − f cos α)
Sachant qu’à t = 0 la vitesse est nulle, on obtient :
˙
x = τg(sin α − f cos α)
1 − exp
−
t
τ
.
3. La présence de la force de frottement fluide dont la norme augmente avec la vitesse fait
que la vitesse ne peut pas augmenter indéfiniment. Le skieur atteint une vitesse limite lorsque
les frottements compensent la force motrice du mouvement. On a alors :
¨
x = 0 et
˙
x
τ
= g(sin α − f cosα).
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