Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
b. La solution générale de l’équation précédente est :
v z = A exp
−
t
τ
+ gτ
1 −
1
d h
,
soit en changeant l’origine des temps, v(t = 0) = v e :
v z (t) = gτ
1 −
1
d h
+
v e − gτ
1 −
1
d h
exp
−
t
τ
.
c. Lorsque t → ∞, on trouve la vitesse limite, soit v L = gτ
1 −
1
d h
. L’application numérique donne v L = −0,356 m·s −1 .
d. On peut alors mettre v z sous la forme suivante :
v z (t) = (v e + |v L |) exp
−
t
τ
− |v L |.
Le plongeur commence à remonter lorsque la vitesse v z devient nulle, puisque la résultante
des forces est vers le haut :
|v L | = (v e + |v L |) exp
−
t 1
τ
⇒ t 1 = τ ln
1 +
v e
|v L |
= 1,19 s.
e. En intégrant la vitesse, avec z(t = 0) = 0, on trouve :
z(t) = τ(v e + |v L |)
1 − exp
−
t
τ
− |v L |t.
La profondeur maximale est atteinte à t = t 1 = 1,19 s et vaut z max = 4,1 m.
f. On cherche l’instant t 2 pour lequel v z = v 2 = 1 m.s −1 . La résolution donne :
t 2 = τ ln
v e + |v L |
v 2 + |v L |
= 0,76 s, puis z = 3,94 m.
3. Les forces sont les mêmes que précédemment. Seules les conditions initiales changent.
a. La seule force qui a une projection selon l’horizontale est la force de frottement, ce qui
donne :
m ¨
x = −k ˙
x et m¨ z = mg
1 −
1
d h
− k˙ z
b. L’intégration des équations donne :
˙
x = A exp
−
t
τ
et ˙
z = B exp
−
t
τ
+ gτ
1 −
1
d h
.
Sachant qu’à t = 0 (instant de pénétration dans l’eau) ˙
x(0) = v 0 cosα et ˙
z(0) = v 0 sin α, on
obtient :
˙
x = v 0 cos α exp
−
t
τ
et ˙
z = gτ
1 −
1
d h
+
v 0 sin α − gτ
1 −
1
d h
exp
−
t
τ
.
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