Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 15 – PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
Pour la première étape, le départ ayant lieu pour z = 0 au point d’attache de l’élastique (axe
Oz vertical descendant comme précédemment) avec vitesse initiale nulle :
¨
z = g ⇒ ˙
z = gt ⇒ z(t) =
g
2
t
2
donc pour z = 0 , t 2 =
2 0
g
et ˙
z( 0 ) =
√
2g 0 .
Pour la deuxième étape, la relation fondamentale donne : m − → a = m − → g − k(z − 0 ) − → u z . Cette
équation a déjà été résolue précédemment, cependant comme cette fois-ci on nous demande
la hauteur maximale de chute, il est préférable de prendre la solution sous la forme : z(t) =
A cos(ω 0 t + φ ) + 0 +
mg
k
(où ω 0 =
k/m). Avec les conditions initiales à t = t 2 , on détermine A (pas besoin de déterminer φ ) :
⎧
⎨
⎩
z(t 2 ) = A cos(ω 0 t 2 + φ ) + 0 +
mg
k
= 0
˙
z(t 2 ) = −A ω 0 sin(ω 0 t 2 + φ ) =
√
2g 0
⇒ A
=
mg
k
2 +
2mg 0
k
Pour obtenir A , on a élevé chaque équation au carré et utilisé la relation cos 2 + sin
2
= 1.
L’application numérique donne : A = 7,6 m. La hauteur maximale de chute est obtenue pour
cos(ω 0 t 2 + φ ) = 1, soit z max = A + 0 +
mg
k
soit z max = 17,3 m ce qui est pratiquement la
hauteur du pont.
L’accélération est obtenue par deux dérivations de z(t) soit : ¨
z = −A ω 2
0 cos(ω 0 t 2 + φ ) soit
|¨ z| max = A ω 2
0 = 20,1 m·s −2 , soit plus de deux fois l’accélération de la pesanteur.
b. Dans l’équation du mouvement, la position d’équilibre est obtenue pour ¨
z = 0, soit
z = e = 0 +
mg
k
. C’est autour de cette position qu’ont lieu les oscillations du sauteur.
15.9 Jeux aquatiques
On considère le référentiel terrestre galiléen. Le système est le plongeur assimilé à son centre
de gravité M de masse m.
1. La première partie du mouvement correspond à une chute libre. La relation fondamentale
de la dynamique m − → a = m − → g donne en projection sur l’axe (Oz) descendant ¨
z = g, soit en
intégrant avec ˙
z(0) = 0 et z(0) = 0 :
˙
z = gt et z(t) =
gt 2
2
Pour z = h, on trouve t c =
2h/g = 1,4 s et v e =
√
2gh = 14,1 m·s −1 .
2. Dans la deuxième partie du mouvement, le plongeur est dans l’eau.
a. La relation fondamentale dans l’eau devient : m − → a = m − → g +
− →
Π +
− →
f f , ce qui donne en
projection sur (Oz) et en posant v z = ˙
z :
m ˙
v z = mg
1 −
1
d h
− kv z ⇒ ˙
v z +
v z
τ
= g
1 −
1
d h
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CHAPITRE 15 – PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
Pour la première étape, le départ ayant lieu pour z = 0 au point d’attache de l’élastique (axe
Oz vertical descendant comme précédemment) avec vitesse initiale nulle :
¨
z = g ⇒ ˙
z = gt ⇒ z(t) =
g
2
t
2
donc pour z = 0 , t 2 =
2 0
g
et ˙
z( 0 ) =
√
2g 0 .
Pour la deuxième étape, la relation fondamentale donne : m − → a = m − → g − k(z − 0 ) − → u z . Cette
équation a déjà été résolue précédemment, cependant comme cette fois-ci on nous demande
la hauteur maximale de chute, il est préférable de prendre la solution sous la forme : z(t) =
A cos(ω 0 t + φ ) + 0 +
mg
k
(où ω 0 =
k/m). Avec les conditions initiales à t = t 2 , on détermine A (pas besoin de déterminer φ ) :
⎧
⎨
⎩
z(t 2 ) = A cos(ω 0 t 2 + φ ) + 0 +
mg
k
= 0
˙
z(t 2 ) = −A ω 0 sin(ω 0 t 2 + φ ) =
√
2g 0
⇒ A
=
mg
k
2 +
2mg 0
k
Pour obtenir A , on a élevé chaque équation au carré et utilisé la relation cos 2 + sin
2
= 1.
L’application numérique donne : A = 7,6 m. La hauteur maximale de chute est obtenue pour
cos(ω 0 t 2 + φ ) = 1, soit z max = A + 0 +
mg
k
soit z max = 17,3 m ce qui est pratiquement la
hauteur du pont.
L’accélération est obtenue par deux dérivations de z(t) soit : ¨
z = −A ω 2
0 cos(ω 0 t 2 + φ ) soit
|¨ z| max = A ω 2
0 = 20,1 m·s −2 , soit plus de deux fois l’accélération de la pesanteur.
b. Dans l’équation du mouvement, la position d’équilibre est obtenue pour ¨
z = 0, soit
z = e = 0 +
mg
k
. C’est autour de cette position qu’ont lieu les oscillations du sauteur.
15.9 Jeux aquatiques
On considère le référentiel terrestre galiléen. Le système est le plongeur assimilé à son centre
de gravité M de masse m.
1. La première partie du mouvement correspond à une chute libre. La relation fondamentale
de la dynamique m − → a = m − → g donne en projection sur l’axe (Oz) descendant ¨
z = g, soit en
intégrant avec ˙
z(0) = 0 et z(0) = 0 :
˙
z = gt et z(t) =
gt 2
2
Pour z = h, on trouve t c =
2h/g = 1,4 s et v e =
√
2gh = 14,1 m·s −1 .
2. Dans la deuxième partie du mouvement, le plongeur est dans l’eau.
a. La relation fondamentale dans l’eau devient : m − → a = m − → g +
− →
Π +
− →
f f , ce qui donne en
projection sur (Oz) et en posant v z = ˙
z :
m ˙
v z = mg
1 −
1
d h
− kv z ⇒ ˙
v z +
v z
τ
= g
1 −
1
d h
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