Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
3. On étudie le mouvement de la masse test dans le référentiel terrestre galiléen. Cette masse
est assimilée à son centre de gravité M de masse m soumis à son poids m − → g et à la tension de
l’élastique
− →
T . La relation fondamentale donne m − → a = m − → g +
−
→
T .
a. Le problème qui se pose avec les forces de tension d’élastique (ou de ressort) est de
bien les orienter lors de la projection ; une méthode efficace est de définir le vecteur − →
u ext ; ce
vecteur s’oriente du pont d’attache de l’élastique (ou du ressort) vers la masse en mouvement :
on peut alors écrire
− →
T = −k( − 0 ) − →
u ext . La projection de la relation fondamentale sur un axe
vertical Oz descendant ( − → u z = − →
u ext ) avec O point d’attache du ressort (alors = z) donne alors :
m¨ z = mg − k( − 0 ) ⇒ ¨
z +
k
m
z = g +
k
m
0
La solution de l’équation est z = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) + 0 −
mg
k
, avec ω 0 =
k
m
. Dans
la suite, on pose e = 0 +
mg
k
.
On peut alors calculer la vitesse : ˙
z = ω 0 (−A sin(ω 0 t) + B cos(ω 0 t)). On détermine A et B
avec les conditions initiales, à savoir :
z(t = 0) = h
˙
z(t = 0) = 0
⇒
A + e = h
Bω 0
= 0
d’où z(t) = (h − e ) cos(ω 0 t) + e et ˙
z = −ω 0 (h − e ) sin(ω 0 t).
b. L’élastique se détend à l’instant t 1 tel que z(t) = 0 soit :
t 1 =
1
ω 0
arccos
−
mg
k
h −
mg
k
− 0
−1
= 1,25 s
La vitesse v 1 à l’instant t 1 est alors ˙
z(t 1 ) = −3,7 m·s
−1 .
c. Pour < < 0 , M n’est plus soumise qu’à son poids :
¨
z = g ⇒ ˙
z = g(t − t 1 ) + v 1 ⇒ z(t) =
g
2
(t − t 1 )
2
+ v 1 (t − t 1 ) + 0 .
Il faut prendre garde au fait que les conditions initiales pour cette étape du mouvement doivent
être prises à l’instant t 1 et que l’axe est orienté vers le bas, d’où la projection de − → g . La hauteur
maximale atteinte, l’est lorsque la vitesse est nulle soit t − t 1 = −v 1 /g et donc :
z max = −
g
2
v 1
g
2
− v 1
v 1
g
+ 0 = 0
3v 2
1
2g
= 3,9 m
4. Le saut se passe en deux étapes (inversées par rapport à la précédente partie) : une chute
libre jusqu’à z = 0 puis une chute soumise au poids et à la tension de l’élastique.
a. Il faut donc calculer la vitese atteinte à la fin de la première étape en 0 pour avoir les
conditions initiales pour la deuxième étape.
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CORRIGÉS
3. On étudie le mouvement de la masse test dans le référentiel terrestre galiléen. Cette masse
est assimilée à son centre de gravité M de masse m soumis à son poids m − → g et à la tension de
l’élastique
− →
T . La relation fondamentale donne m − → a = m − → g +
−
→
T .
a. Le problème qui se pose avec les forces de tension d’élastique (ou de ressort) est de
bien les orienter lors de la projection ; une méthode efficace est de définir le vecteur − →
u ext ; ce
vecteur s’oriente du pont d’attache de l’élastique (ou du ressort) vers la masse en mouvement :
on peut alors écrire
− →
T = −k( − 0 ) − →
u ext . La projection de la relation fondamentale sur un axe
vertical Oz descendant ( − → u z = − →
u ext ) avec O point d’attache du ressort (alors = z) donne alors :
m¨ z = mg − k( − 0 ) ⇒ ¨
z +
k
m
z = g +
k
m
0
La solution de l’équation est z = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) + 0 −
mg
k
, avec ω 0 =
k
m
. Dans
la suite, on pose e = 0 +
mg
k
.
On peut alors calculer la vitesse : ˙
z = ω 0 (−A sin(ω 0 t) + B cos(ω 0 t)). On détermine A et B
avec les conditions initiales, à savoir :
z(t = 0) = h
˙
z(t = 0) = 0
⇒
A + e = h
Bω 0
= 0
d’où z(t) = (h − e ) cos(ω 0 t) + e et ˙
z = −ω 0 (h − e ) sin(ω 0 t).
b. L’élastique se détend à l’instant t 1 tel que z(t) = 0 soit :
t 1 =
1
ω 0
arccos
−
mg
k
h −
mg
k
− 0
−1
= 1,25 s
La vitesse v 1 à l’instant t 1 est alors ˙
z(t 1 ) = −3,7 m·s
−1 .
c. Pour < < 0 , M n’est plus soumise qu’à son poids :
¨
z = g ⇒ ˙
z = g(t − t 1 ) + v 1 ⇒ z(t) =
g
2
(t − t 1 )
2
+ v 1 (t − t 1 ) + 0 .
Il faut prendre garde au fait que les conditions initiales pour cette étape du mouvement doivent
être prises à l’instant t 1 et que l’axe est orienté vers le bas, d’où la projection de − → g . La hauteur
maximale atteinte, l’est lorsque la vitesse est nulle soit t − t 1 = −v 1 /g et donc :
z max = −
g
2
v 1
g
2
− v 1
v 1
g
+ 0 = 0
3v 2
1
2g
= 3,9 m
4. Le saut se passe en deux étapes (inversées par rapport à la précédente partie) : une chute
libre jusqu’à z = 0 puis une chute soumise au poids et à la tension de l’élastique.
a. Il faut donc calculer la vitese atteinte à la fin de la première étape en 0 pour avoir les
conditions initiales pour la deuxième étape.
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