Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
a. On peut également trouver la vitesse limite avec l’expression de ˙
x : lorsque t → ∞,
˙
x → τg(sin α − f cos α) = v l qui constitue donc la vitesse limite. On obtient alors − → v =
− → v l
1 − exp
−
t
τ
avec − → v l = v l
− → u x .
b. L’application numérique donne v l = 56 m·s −1 .
4. On résout l’équation v = v l /2 :
v l
2
= v l
1 − exp
−
t 1
τ
⇒ t 1 = 2τ ln 2 = 111 s.
5. Lorsque le skieur tombe, sa vitesse est v l /2. L’équation du mouvement sur Oy est de
la même forme que précédemment en multipliant f par 10, ce qui entraîne T = 10 f mg.
L’équation projetée sur Ox devient alors, en négligeant les frottements dus à l’air :
¨
x = g(sin α − 10 f cos α) ⇒ ˙
x = g(sin α − 10 f cos α)t + v l /2
Le temps d’arrêt correspond à v = 0 soit t a = −v l /(2g(sin α − 10 f cos α)). La distance d’arrêt
depuis le point de chute, s’obtient en en intégrant la vitesse soit :
d =
g
2
(sin α − 10 f cos α)t
2
a +
v l t a
2
⇒ d = −
v 2
l
8g(sin α − 10 f cos α)
= 6,2 m.
15.11 Atterrissage en catastrophe d’un avion
1. On étudie le mouvement de l’avion dans le référentiel lié à la piste d’atterrissage galiléen.
Ce mouvement est horizontal selon la direction de la piste repérée par l’axe (Ox).
a. On assimile le mouvement de l’avion à celui de son centre de gravité M de masse m.
L’étude cinématique du mouvement de M donne :
− − →
OM = x − → u x ; − → v = ˙
x − → u x ; − → a = ¨
x − → u x .
Les forces s’exerçant sur l’avion sont : le poids, la réaction normale de la piste et la force de
traînée T due au parachute. La seule force horizontale est donc T . La projection de la relation
fondamentale de la dynamique sur (Ox) donne donc :
m ¨
x = −T = −k ˙
x
2
avec k = C x ρS/(2m)
b. Pour intégrer l’équation du mouvement on sépare les variables, soit en notant v = ˙
x :
˙
v
v 2 = −k ⇒ −
1
v
= −kt + cte
or à t = 0, v = v a :
1
v
= kt +
1
v a
⇒ v =
v a
v a kt + 1
.
c. L’avion s’arrête si la vitesse devient nulle, or d’après l’expression précédente la vitesse
tend vers 0 au bout d’un temps infini. Cette force n’est pas suffisante pour stopper l’avion.
2. On obtient l’expression de la position de l’avion en intégrant l’expression précédente de la
vitesse et en prenant x(0) = 0 :
x =
1
k
ln(v a kt + 1) + cte soit x =
1
k
ln(v a kt + 1) ⇔ v a kt + 1 = exp(kx)
d’où la vitesse à la distance d : v = v a exp(−kd) = 24,9 m·s −1 soit une vitesse de 89,6 km·h −1 ,
d’où l’utilité des freins.
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CORRIGÉS
a. On peut également trouver la vitesse limite avec l’expression de ˙
x : lorsque t → ∞,
˙
x → τg(sin α − f cos α) = v l qui constitue donc la vitesse limite. On obtient alors − → v =
− → v l
1 − exp
−
t
τ
avec − → v l = v l
− → u x .
b. L’application numérique donne v l = 56 m·s −1 .
4. On résout l’équation v = v l /2 :
v l
2
= v l
1 − exp
−
t 1
τ
⇒ t 1 = 2τ ln 2 = 111 s.
5. Lorsque le skieur tombe, sa vitesse est v l /2. L’équation du mouvement sur Oy est de
la même forme que précédemment en multipliant f par 10, ce qui entraîne T = 10 f mg.
L’équation projetée sur Ox devient alors, en négligeant les frottements dus à l’air :
¨
x = g(sin α − 10 f cos α) ⇒ ˙
x = g(sin α − 10 f cos α)t + v l /2
Le temps d’arrêt correspond à v = 0 soit t a = −v l /(2g(sin α − 10 f cos α)). La distance d’arrêt
depuis le point de chute, s’obtient en en intégrant la vitesse soit :
d =
g
2
(sin α − 10 f cos α)t
2
a +
v l t a
2
⇒ d = −
v 2
l
8g(sin α − 10 f cos α)
= 6,2 m.
15.11 Atterrissage en catastrophe d’un avion
1. On étudie le mouvement de l’avion dans le référentiel lié à la piste d’atterrissage galiléen.
Ce mouvement est horizontal selon la direction de la piste repérée par l’axe (Ox).
a. On assimile le mouvement de l’avion à celui de son centre de gravité M de masse m.
L’étude cinématique du mouvement de M donne :
− − →
OM = x − → u x ; − → v = ˙
x − → u x ; − → a = ¨
x − → u x .
Les forces s’exerçant sur l’avion sont : le poids, la réaction normale de la piste et la force de
traînée T due au parachute. La seule force horizontale est donc T . La projection de la relation
fondamentale de la dynamique sur (Ox) donne donc :
m ¨
x = −T = −k ˙
x
2
avec k = C x ρS/(2m)
b. Pour intégrer l’équation du mouvement on sépare les variables, soit en notant v = ˙
x :
˙
v
v 2 = −k ⇒ −
1
v
= −kt + cte
or à t = 0, v = v a :
1
v
= kt +
1
v a
⇒ v =
v a
v a kt + 1
.
c. L’avion s’arrête si la vitesse devient nulle, or d’après l’expression précédente la vitesse
tend vers 0 au bout d’un temps infini. Cette force n’est pas suffisante pour stopper l’avion.
2. On obtient l’expression de la position de l’avion en intégrant l’expression précédente de la
vitesse et en prenant x(0) = 0 :
x =
1
k
ln(v a kt + 1) + cte soit x =
1
k
ln(v a kt + 1) ⇔ v a kt + 1 = exp(kx)
d’où la vitesse à la distance d : v = v a exp(−kd) = 24,9 m·s −1 soit une vitesse de 89,6 km·h −1 ,
d’où l’utilité des freins.
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