Exercices Exercices Corrigés
CORRIGÉS
15.2 Oscillations d’une masse suspendue à un ressort
1. On étudie le mouvement du petit objet de masse m assimilé à un point matériel M dans
le référentiel lié au sol galiléen. Le mouvement étant vertical, on définit le repère cartésien
(Oxyz) tel que l’axe (Ox) coïncide avec la verticale descendante.
M est repéré par son vecteur position
− − →
OM = x − → u x . Sa vitesse et son accélération valent respectivement :
− → v = ˙
x − → u x et − → a = ¨
x − → u x .
Dans ce référentiel, le point M est soumis à son poids
− →
P = m − → g = mg − → u x et à la force rappel
élastique du ressort
− →
T = −k (l − l 0 ) − →
u ext . Avec le choix de repère précédent, l = x et − →
u ext = − → u x .
On applique alors le principe fondamental de la dynamique : m − → a =
− →
P +
− →
T que l’on projette
sur la direction du mouvement (Ox) :
m ¨
x = mg − k (x − l 0 ) ⇔ ¨
x +
k
m
x = g +
k
m
l 0 =
k
m
l 0 +
mg
k
.
Cette équation est bien de la forme ¨
x + ω 2
0 x = ω 2
0 x eq avec ω 0 =
k
m
et x eq = l 0 +
mg
k
.
2. Lorsque M est situé à la position M eq , son accélération, et par conséquent la somme des
forces auxquelles il est soumis, s’annule. Cette position est la position d’équilibre du point
M. Comme on peut s’y attendre, elle correspond à un ressort étiré (l eq = l 0 +
mg
k
> l 0 ) de
telle sorte que la tension du ressort compense le poids.
3. Résolution :
a. Pour effectuer le changement d’origine du repère, on note
− −− →
M eq M = X − → u x et on utilise la
relation de Chasles :
− −− →
M eq M =
− − →
OM −
− −− →
OM eq
sur − → u x
− −−−→ X = x − x eq .
b. x eq étant une constante, on dérive l’expression précédente et on trouve :
˙
X = ˙
x et ¨
X = ¨
x.
On remplace alors dans l’équation du mouvement pour obtenir ¨
X + ω
2
0 X = 0. Il s’agit de
l’équation d’un oscillateur harmonique.
c. Les solutions sont : X = a cos ω 0 t + b sin ω 0 t et les conditions initiales données dans
l’énoncé se traduisent par x(t = 0) = l 0 et ˙
x(t = 0) = 0 soit :
X(t = 0) = l 0 − x eq = −
mg
k
= a
˙
X(t = 0) = 0 = bω 0 .
Finalement :
X = −
mg
k
cos ωt et x = x eq −
mg
k
cos ωt.
d. Le mouvement de M présente des oscillations harmoniques centrées sur la position
d’équilibre, de pulsation ω 0 , d’amplitude X m =
mg
k
et de phase à l’origine π.
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15.2 Oscillations d’une masse suspendue à un ressort
1. On étudie le mouvement du petit objet de masse m assimilé à un point matériel M dans
le référentiel lié au sol galiléen. Le mouvement étant vertical, on définit le repère cartésien
(Oxyz) tel que l’axe (Ox) coïncide avec la verticale descendante.
M est repéré par son vecteur position
− − →
OM = x − → u x . Sa vitesse et son accélération valent respectivement :
− → v = ˙
x − → u x et − → a = ¨
x − → u x .
Dans ce référentiel, le point M est soumis à son poids
− →
P = m − → g = mg − → u x et à la force rappel
élastique du ressort
− →
T = −k (l − l 0 ) − →
u ext . Avec le choix de repère précédent, l = x et − →
u ext = − → u x .
On applique alors le principe fondamental de la dynamique : m − → a =
− →
P +
− →
T que l’on projette
sur la direction du mouvement (Ox) :
m ¨
x = mg − k (x − l 0 ) ⇔ ¨
x +
k
m
x = g +
k
m
l 0 =
k
m
l 0 +
mg
k
.
Cette équation est bien de la forme ¨
x + ω 2
0 x = ω 2
0 x eq avec ω 0 =
k
m
et x eq = l 0 +
mg
k
.
2. Lorsque M est situé à la position M eq , son accélération, et par conséquent la somme des
forces auxquelles il est soumis, s’annule. Cette position est la position d’équilibre du point
M. Comme on peut s’y attendre, elle correspond à un ressort étiré (l eq = l 0 +
mg
k
> l 0 ) de
telle sorte que la tension du ressort compense le poids.
3. Résolution :
a. Pour effectuer le changement d’origine du repère, on note
− −− →
M eq M = X − → u x et on utilise la
relation de Chasles :
− −− →
M eq M =
− − →
OM −
− −− →
OM eq
sur − → u x
− −−−→ X = x − x eq .
b. x eq étant une constante, on dérive l’expression précédente et on trouve :
˙
X = ˙
x et ¨
X = ¨
x.
On remplace alors dans l’équation du mouvement pour obtenir ¨
X + ω
2
0 X = 0. Il s’agit de
l’équation d’un oscillateur harmonique.
c. Les solutions sont : X = a cos ω 0 t + b sin ω 0 t et les conditions initiales données dans
l’énoncé se traduisent par x(t = 0) = l 0 et ˙
x(t = 0) = 0 soit :
X(t = 0) = l 0 − x eq = −
mg
k
= a
˙
X(t = 0) = 0 = bω 0 .
Finalement :
X = −
mg
k
cos ωt et x = x eq −
mg
k
cos ωt.
d. Le mouvement de M présente des oscillations harmoniques centrées sur la position
d’équilibre, de pulsation ω 0 , d’amplitude X m =
mg
k
et de phase à l’origine π.
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