Exercices Exercices Corrigés
CHAPITRE 15 – PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
CORRIGÉS
15.1 Bond sur la Lune
1. Mise en équation
a. On étudie le mouvement du centre de gravité M du Capitaine Haddock dans le référentiel lié à la Lune galiléen.
b. Après l’impulsion sur le sol qui permet d’acquérir cette vitesse initiale, la seule force
est la force de pesanteur lunaire : m − → g l = −mg l
− → u z .
c. Le repère est (O, x, y, z), le point O est l’origine du saut et Oz est vertical ascendant.
On choisit les axes tels que :
− → v 0 = v 0 (cos α − → u x + sin α − → u z ).
Dans ce repère cartésien, les vecteurs position, vitesse et accélération sont respectivement :
− − →
OM
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x
y
z
− → v
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
˙
x
˙
y
˙
z
− → a
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
¨
x
¨
y
¨
z
x
y
− → u x
− → u y
•
O
− → v 0
•
M
m − → g l
α
d. La relation fondamentale de la dynamique donne : m − → a = m − → g l soit :
¨
x = 0 ; ¨
y = 0 ; ¨
z = −g l .
2. Résolution : par intégration successive, on trouve :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
˙
x = v 0 cos α
˙
y = 0
˙
z = −g l t + v 0 sin α
⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x = v 0 t cos α
y = 0
z = −
1
2
g l t
2
+ v 0 t sin α.
On obtient l’équation de la trajectoire en éliminant t :
z = −
1
2
g l
x 2
(v 0 cos α) 2 + x tan α.
Le sauteur retombe sur le sol pour z = 0, soit en rejetant la solution x = 0 qui correspond au
départ, on trouve la distance parcourue :
d =
v 2
0
g l
sin 2α.
3. En supposant que v 0 et α soient les mêmes et puisque d est inversement proportionnel à
g l , la distance sur la Lune sera six fois plus grande soit 9 m. Il est vraisemblable que v 0 soit
plus grand sur la Lune que sur Terre, donc que d soit encore plus grand sur la Lune.
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