Exercices Exercices
CHAPITRE 15 – PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
uniquement soumis à la force de pesanteur (on prendra g = 10 m·s
−2 ) durant la chute. On
note (Oz), l’axe vertical descendant, O étant le point de saut.
1. Déterminer la vitesse v e d’entrée dans l’eau ainsi que le temps de chute t c . Application
numérique.
2. Lorsqu’il est dans l’eau, le baigneur ne fait aucun mouvement. Il subit en plus de la pesanteur :
• une force de frottement
− →
f f = −k − → v ( − → v étant la vitesse et k = 250 kg·s −1 ) ;
• la poussée d’Archimède
− →
Π = −
m
d h
− → g (d h = 0, 9 est la densité du corps humain).
a. Etablir l’équation différentielle à laquelle obéit la vitesse en projection sur (Oz), notée
v z . On posera τ = m/k.
b. Intégrer cette équation en prenant comme nouvelle origine des temps t = t c .
c. Déterminer la vitesse limite v L (<0) en fonction de m, k, g et d h . Application numérique.
d. Exprimer la vitesse v z en fonction de v e , |v L | et t. Déterminer à quel instant t 1 le baigneur
commence à remonter.
e. En prenant la surface de l’eau comme nouvelle origine de l’axe (Oz), exprimer z(t). En
déduire la profondeur maximale pouvant être atteinte.
f. En fait, il suffit que le baigneur arrive au fond de la piscine avec une vitesse de l’ordre
de 1 m·s −1 pour qu’il puisse se repousser avec ses pieds sans risque : à quel instant t 2 atteint-il
cette vitesse et quelle est la profondeur minimale du bassin ?
3. Le même baigneur décide maintenant d’effectuer un plongeon. On suppose qu’il entre
dans l’eau avec un angle α = 60
◦ par rapport à l’horizontale et une vitesse v 0 = 8 m·s
−1 . Les
forces qui s’exercent sur lui sont les mêmes que précédemment mais le coefficient k est divisé
par deux en raison d’une meilleure pénétration dans l’eau.
On repère le mouvement par les axes (Ox) (axe horizontal de même sens que − → v 0 ) et (Oz)
(vertical descendant comme précédemment) ; le point O est le point de pénétration dans l’eau.
a. Déterminer les projections des équations du mouvement sur Ox et Oz.
b. En déduire les composantes de la vitesse dans l’eau en fonction du temps. Existe-t-il
une vitesse limite ?
c. Le plongeur peut-il atteindre le fond de la piscine situé à 4 m ?
15.10 Etude d’un skieur d’après ESIGETEL 2000 ()
On étudie le mouvement d’un skieur descendant une piste selon la ligne de plus grande pente,
faisant l’angle α avec l’horizontale. L’air exerce une force de frottement supposée de la forme
− →
F = −λ − → v , où λ est un coefficient constant positif et − → v la vitesse du skieur.
On note
− →
T et
− →
N les composantes tangentielle et normale de la force de contact exercée par
la neige et f le coefficient de frottement solide tel que
− →
T = f
− →
N .
On choisit comme origine de l’axe Ox de la ligne de plus grande pente la position initiale du
skieur, supposé partir à l’instant initial avec une vitesse négligeable. On note Oy la normale
à la piste dirigée vers le haut.
1. Calculer
− →
T et
− →
N .
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CHAPITRE 15 – PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
uniquement soumis à la force de pesanteur (on prendra g = 10 m·s
−2 ) durant la chute. On
note (Oz), l’axe vertical descendant, O étant le point de saut.
1. Déterminer la vitesse v e d’entrée dans l’eau ainsi que le temps de chute t c . Application
numérique.
2. Lorsqu’il est dans l’eau, le baigneur ne fait aucun mouvement. Il subit en plus de la pesanteur :
• une force de frottement
− →
f f = −k − → v ( − → v étant la vitesse et k = 250 kg·s −1 ) ;
• la poussée d’Archimède
− →
Π = −
m
d h
− → g (d h = 0, 9 est la densité du corps humain).
a. Etablir l’équation différentielle à laquelle obéit la vitesse en projection sur (Oz), notée
v z . On posera τ = m/k.
b. Intégrer cette équation en prenant comme nouvelle origine des temps t = t c .
c. Déterminer la vitesse limite v L (<0) en fonction de m, k, g et d h . Application numérique.
d. Exprimer la vitesse v z en fonction de v e , |v L | et t. Déterminer à quel instant t 1 le baigneur
commence à remonter.
e. En prenant la surface de l’eau comme nouvelle origine de l’axe (Oz), exprimer z(t). En
déduire la profondeur maximale pouvant être atteinte.
f. En fait, il suffit que le baigneur arrive au fond de la piscine avec une vitesse de l’ordre
de 1 m·s −1 pour qu’il puisse se repousser avec ses pieds sans risque : à quel instant t 2 atteint-il
cette vitesse et quelle est la profondeur minimale du bassin ?
3. Le même baigneur décide maintenant d’effectuer un plongeon. On suppose qu’il entre
dans l’eau avec un angle α = 60
◦ par rapport à l’horizontale et une vitesse v 0 = 8 m·s
−1 . Les
forces qui s’exercent sur lui sont les mêmes que précédemment mais le coefficient k est divisé
par deux en raison d’une meilleure pénétration dans l’eau.
On repère le mouvement par les axes (Ox) (axe horizontal de même sens que − → v 0 ) et (Oz)
(vertical descendant comme précédemment) ; le point O est le point de pénétration dans l’eau.
a. Déterminer les projections des équations du mouvement sur Ox et Oz.
b. En déduire les composantes de la vitesse dans l’eau en fonction du temps. Existe-t-il
une vitesse limite ?
c. Le plongeur peut-il atteindre le fond de la piscine situé à 4 m ?
15.10 Etude d’un skieur d’après ESIGETEL 2000 ()
On étudie le mouvement d’un skieur descendant une piste selon la ligne de plus grande pente,
faisant l’angle α avec l’horizontale. L’air exerce une force de frottement supposée de la forme
− →
F = −λ − → v , où λ est un coefficient constant positif et − → v la vitesse du skieur.
On note
− →
T et
− →
N les composantes tangentielle et normale de la force de contact exercée par
la neige et f le coefficient de frottement solide tel que
− →
T = f
− →
N .
On choisit comme origine de l’axe Ox de la ligne de plus grande pente la position initiale du
skieur, supposé partir à l’instant initial avec une vitesse négligeable. On note Oy la normale
à la piste dirigée vers le haut.
1. Calculer
− →
T et
− →
N .
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